§ 5. Законы равновесного излучения

В классической физике для спектральной плотности энергии равновесного излучения абсолютно черного тела было получено выражение (см. гл. VIII, § 4):

где средняя энергия стоячей электромагнитной волны. Подстановка вместо классического значения средней энергии осциллятора привело, как уже отмечалось, к «ультрафиолетовой» катастрофе. Поэтому в формулу следует подставить среднюю энергию квантового осциллятора:

Тогда формула (11.50) принимает вид:

Эта формула называется формулой Планка для спектральной плотности энергии равновесного излучения. Количество энергии, излучаемой абсолютно черным телом в виде электромагнитных волн в интервале частот от до равно:

Формула Планка в виде (11. 52) позволила объяснить все законы излучения абсолютно черного тела, подтвердив" тем самым выдвинутую Планком «гипотезу квант».

Формулу Планка можно записать через длину волны излучаемого света в следующем виде:

Зависимость спектральной плотности излучения от длины волны для различных температур представлена на рис. 67. Из рисунка видно, что спектральная плотность излучения имеет максимум при определенной длине волны, который смещается с изменением температуры.

Формула Планка (11. 52) позволяет определить полную энергию равновесного излучения в единице объема:

Введя новую переменную и воспользовавшись значением определенного интеграла для полной энергии излучения (см. Приложение), получим:

В отличие от классического случая, когда интеграл для полной энергии расходился, в квантовой статистике мы получили известный закон Стефана—Больцмана.

Полная энергия равновесного излучения в объеме V определяется по формуле

Зная полную энергию равновесного излучения, можно найти для него и различные термодинамические функциц. Но эти вычисления мы отложим до следующей главы.

Здесь же покажем, что из формулы Планка можно получить известный закон Вина относительно температурного изменения длины волны Ятах, соответствующей максимуму излучения в спектре абсолютно черного тела.

Рис. 67. Кривые спектральной плотности излучения при различных температурах

Для этого продифференцируем плотность энергии (11. 53) по длине волны и приравняем нулю:

Обозначив через величину получаем трансцендентное уравнение:

решение которого дает для постоянное значение 4,9650. Возвращаясь к прежним переменным, получаем равенство:

показывающее, что длина волны, соответствующая максимуму излучения в спектре абсолютно черного тела, изменяется обратно пропорционально абсолютной температуре. Это и есть закон смещения Вина.

Оказывается, формула Планка при определенных предположениях переходит и в другие известные формулы.

Так, в случае разлагая знаменатель формулы (11. 51) в ряд и ограничиваясь первым членом разложения, получаем классическую формулу Релея — Джинса:

В случае же, когда пренебрегая единицей в знаменателе, получим другую известную формулу Вина для спектральной плотности:

Таким образом, формула Планка позволила объяснить все опытные законы равновесного излучения.