§ 4. Элемент фазового объема. Вероятность нахождения системы в фазовом пространстве

Мы не можем проследить за микроскопическим поведением реальной системы многих частиц. Изображение системы в фазовом пространстве также не может помочь решению этой задачи, но позволяет применить к рассмотрению системы статистические методы.

Во-первых, представление системы в фазовом пространстве дает возможность геометрически представить всю совокупность микросостояний, совместимых с данным макросостоянием. Далее, некоторую совокупность точек фазового пространства можно рассматривать как набор большого числа различных реальных систем, находящихся в одном и том

же макроскопическом состоянии, но отличающихся своими микросостояниями. Этот набор большого числа физических систем, соответствующих одному макроскопическому состоянию, называют статистическим или фазовым ансамблем. Понятно, что фазовому ансамблю соответствует определенная совокупность точек (или целая область) в фазовом пространстве. Если каждой точке фазового ансамбля (микросостоянию) с помощью функции распределения приписать ту или иную вероятность, то представление о фазовом ансамбле поможет определить термодинамическую вероятность любого микросостояния. Другими словами, представление о фазовом пространстве и фазовом ансамбле непосредственно подводит нас к статистике.

Введем следующие обозначения для координат фазового пространства:

Любое микросостояние системы можно рассматривать как случайное событие, зависящее от переменных. Каждую из переменных будем также рассматривать как случайную величину.

Запишем вероятность того, что система находится в определенном микросостоянии, т. е. изображается определенной точкой фазового пространства. Выделим в фазовом пространстве элемент объема включающий данную точку (микросостояние). Тогда вероятность того, что система будет находиться в рассматриваемом элементе объема фазового пространства будет иметь вид:

Здесь представляет плотность вероятности или функцию распределения системы в фазовом пространстве измерений. Она будет иметь смысл функции распределения по микросостояниям системы.

Для сокращения в дальнейшем всю совокупность величин будем обозначать одной буквой а произведение одним значком . Тогда

где вероятность того, что система находится в элементарном фазовом объеме т. е. вблизи определенного микросостояния. Тогда вероятность того, что система будет находиться в некотором конечном объеме фазового пространства на основании теоремы о сложении вероятностей будет определяться интегралом по этому объему:

Функция распределения вероятностей для точек фазового пространства или распределения микросостояний в фазовом пространстве должна удовлетворять условию нормировки:

Таким образом, имея фазовый ансамбль, мы можем каждому состоянию приписать плотность вероятности (если ансамбль непрерывный) или вероятность (если ансамбль дискретный).

Теперь состояние системы будет характеризоваться не точкой в фазовом пространстве, которую мы не можем определить, а вероятностью связанной с функцией распределения соотношением (5.13). Такое описание возможно потому, что в любом состоянии системы из опыта нам известно только небольшое число переменных, а остальные (большинство) является случайными. Они определяются лишь статистически функцией распределения Итак, задачу о системе многих частиц мы свели к статистическому описанию с помощью функции распределения

Однако прежде чем искать функцию распределения в фазовом пространстве, а также вычислять вероятности тех или иных состояний, рассмотрим, как меняется со временем элемент фазового объема. Это важно выяснить потому, что

вероятность нахождения системы в элементе фазового объема пропорциональна этому элементу объема, а последний перемещается и изменяется с течением времени. Если рассматриваемые системы замкнуты, т. е. подчиняются каноническим уравнениям Гамильтона, то оказывается, что число точек в единице объема фазового пространства при его движении остается неизменным. (Плотность точек не изменяется только вдоль фазовой траектории.) В этом смысл так называемой теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема.