§ 3. Распределение свободных пробегов частиц

Часто при решении задач приходится интересоваться не только средним пробегом, но и распределением свободных пробегов около среднего значения. Функцию распределения пробегов можно получить, считая свободный пробег случайной величиной. При этом нужно различать две задачи:

а) о вероятности того или другого пути, проходимого молекулой с некоторого момента времени;

б) о распределении длин свободных пробегов (от столкновения до столкновения) по абсолютной величине.

Сначала найдем распределение путей, проходимых молекулой, начиная с некоторого момента времени. Вероятность того, что молекула пройдет путь I без столкновения, будет Далее, запишем вероятность того, что без столкновения будет пройден путь т. е. Представим отсутствие столкновения на длине как сложное событие, заключающееся в независимых событиях отсутствия столкновения на длине Для вероятности этого события получим соотношение:

Вероятность отсутствия столкновения на пути можно представить через вероятность столкновения на этом пути (как противоположные события). Вероятность же того, что на длине произойдет столкновение, будет пропорциональна этой длине, т. е. Тогда

Считая непрерывной функцией, вероятность можем представить в виде:

Подставляя (4.13) в (4.12), получим:

Интегрируя это уравнение, найдем:

Таким образом, распределение пробегов молекул подчиняется экспоненциальному закону. Нормируя это распределение и вводя среднюю величину пробега I (см. стр. 35), запишем его в виде:

Выведенный закон распределения пробегов справедлив в том случае, если под I понимать не расстояние, проходимое молекулой между двумя последующими столкновениями, а расстояние, проходимое от случайно выбранного момента времени до первого столкновения. Этот закон распределения пробегов был подтвержден и экспериментально в специально поставленных опытах.

Вторая задача о распределении длин свободных пробегов решается по аналогии с выводом максвелловского распределения. Вероятность того или другого свободного пробега молекулы может зависеть только от его величины. Пусть

означает вероятность того, что проекция пробега на ось будет иметь величину от до Аналогично можно ввести и вероятности для проекций пробегов на оси Считая, что пробеги и по различным направлениям независимы между собой и что функция зависит лишь от величины для вероятности пробега иметь длину получим выражение:

Этому уравнению удовлетворяет функция в виде:

которая приводит к формуле распределения пробегов, аналогичной максвелловскому распределению скоростей.

Если интересоваться только абсолютной величиной пробега а не направлением его, то по аналогии с максвелловским распределением для скоростей получим:

Здесь наивероятнейший свободный пробег, связанный со средним пробегом соотношением:

Среднюю длину свободного пробега, соответствующего такому распределению, можно вычислить по формуле (4. 8).

Некоторые коэффициенты переноса в газах будут рассмотрены в следующем параграфе.