Глава VI. СТАЦИОНАРНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

§ 1. Микроканоническое распределение

Если система находится в состоянии равновесия, то средние значения любых ее параметров не будут зависеть от времени. Поэтому функция распределения должна зависеть только от интегралов движения системы. Основным интегралом движения является полная механическая

энергия системы или функция Гамильтона Соответственно, простейший общий вид функции распределения будет Конкретный же вид этой функции нужно определить.

Функция Гамильтона зависит от переменных системы и от внешних параметров , т. е. . Непосредственный вывод функции распределения из механики — пока еще не решенная проблема. Поэтому вид функции нужно найти или угадать исходя из некоторых физических представлений. Правильность полученной таким путем функции распределения нельзя непосредственно проверить на опыте. Однако, если из нее можно получить известные термодинамические соотношения, законы и свойства систем, то значит функция распределения выбрана правильно.

Рассмотрим адиабатическую, т. е. замкнутую систему с определенной энергией. Все макроскопические параметры такой системы могут рассматриваться как функции внешних параметров и температуры или как функции внешних параметров и внутренней энергии системы Так, состояние, например, одного моля газд с макроскопической точки зрения может быть задано температурой и объемом как. внешним параметром (или энергией и объемом). (В случае систем из разных молекул макроскопическое состояние может быть описано концентрациями компонентов, температурой и объемом.)

Найдем вид функции пользуясь тем, что энергия системы равна ее средней энергии и является функцией тех же параметров, т. е.

Но любая средняя величина

также должна быть функцией внешних параметров и энергии. Поэтому функция распределения может быть выбрана в виде:

Через обозначены все переменных, а через а все внешних параметров.

Поскольку рассматривается адиабатическая система, то ее энергия не может значительно отклоняться от определенной величины т. е. должно стремиться к нулю.

В качестве функции, удовлетворяющей последнему условию, можно взять -функцию, рассмотренную нами в главе II. Для нашего случая она запишется следующим образом:

Функция распределения должна быть некоторой функцией от переменных Но в случае -функции такой зависимости от параметров в явном виде не получено.

Распределение в виде показывает, что система может иметь только такие микросостояния чтобы ее механическая энергия была близка к постоянной Запись распределения в виде -функции позволяет произвести интегрирование по всем микросостояниям (системам) имеющим постоянную механическую энергию

Все эти состояния занимают некоторый объем в фазовом пространстве, который входит в условие нормировки этой функции распределения. Поэтому полученное распределение записывают так:

Покажем, что найденная функция распределения удовлетворяет требованию Действительно,

Любая средняя величина для принятого распределения (6.1) будет определяться соотношением:

При этом выполняется основное термодинамическое требование, чтобы все средние физических величин зависели от средней энергии и внешних параметров.

Найденная функция распределения для адиабатической системы (6.1) называется микроканоническим распределением (рис. 29).

Рис. 29. Примерный вид микроканонического распределения

Однако в силу особенного вида этого распределения использование его встречает ряд трудностей Поэтому обычно пользуются функцией распределения для изотермической системы.