§ 2. Равновесное излучение как фотонный газ

Равновесное тепловое излучение и его законы могут быть описаны с помощью статистики Бозе — Эйнштейна.

Для этого представим равновесное излучение как газ невзаимодействующих между собой фотонов. Так как спин фотона равен 0, то такой газ должен подчиняться распределению Бозе — Эйнштейна:

Число частиц в таком фотонном газе может быть переменным. Оно зависит от объема и температуры. Поэтому свободная энергия фотонного газа будет функцией не только объема и температуры, но и числа частиц в системе. Определим число частиц в системе из условия минимума свободной энергии при равновесии:

Это уравнение показывает, что парциальный (химический) потенциал для равновесного фотонного газа равен нулю, так как он определяется соотношением:

Таким образом, для фотонного газа среднее число частиц с энергией вместо (12. 10) запишется в виде:

Учитывая, что энергия фотона последнее равенство можно переписать в виде:

Это и есть распределение Планка для квантов. Считаем, что импульс фотона Тогда в объеме V может быть фотонов одной поляризации с импульсом от до

Выражая статистический вес состояний с энергией через интервал частот от до получим;

Число же фотонов различной поляризации с частотами от до будет равно

Энергия равновесного излучения, приходящаяся на указанный интервал спектра частот,

Последние формулы отличаются от соответствующих формул главы XI тем, что относятся к системе фотонов во всем объеме V, а не в единице объема. Это позволит нам рассмотреть различные термодинамические функции фотонного газа (равновесного излучения).

Считая распределение по частоте непрерывным, вычислим полную энергию V фотонного газа:

Введя новую переменную воспользовавшись значением интеграла из Приложения, получим:

где

Зная полную энергию V как функцию с помощью уравнения Гиббса — Гельмгольца

можно вычислить свободную энергию фотонного газа:

По свободной же энергии фотонного газа можно найти энтропию и давление равновесного излучения:

и

Давление излучения, таким образом, определяется через плотность энергии равновесного излучения

Поскольку давление излучения зависит только от температуры, но не от объема, то при изотермическом расширении полости происходит излучение фотонов и при сжатии — их поглощение стенками полости.

По внутренней энергии излучения можно определить теплоемкость фотонного газа:

Полное число фотонов в объеме равновесного излучения можно, заменяя интеграл его численным значением (см. Приложение), подсчитать по формуле

При адиабатическом расширении или сжатии фотонного газа, когда число фотонов остается постоянным, получаем связь между температурой и объемом в виде:

Заменяя в (12. 23) температуру через давление по формуле (12. 21), получим уравнение адиабаты для фотонного газа:

Полученные термодинамические функции для фотонного газа используются при рассмотрении внутреннего строения звезд, где давление излучения имеет принципиальное значение.