§ 3. Теплоемкость твердых тел

Теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы можно применить и к вычислению внутренней энергии и теплоемкости твердого тела. Пусть твердое тело состоит из атомов, каждый из которых участвует в колебательном движении и имеет три степени свободы. Все атомы в твердом теле имеют степеней свободы. Каждый атом совершает обычно сложные колебания, состоящие из нескольких колебательных движений. Однако в любой системе при малых колебаниях можно выбрать такие обобщенные координаты, называемые нормальными, что на каждую степень свободы будет приходиться только одно простое гармоническое колебание.

В этом случае твердое тело будет эквивалентно системе гармонических осцилляторов, которая будет описываться уравнениями вида:

где нормальные координаты. Функция Гамильтона для такой системы запишется

Учитывая, что на каждую колебательную степень свободы приходится энергия найдем энергию колебательного движения всех атомов, совершающих тепловое движение в твердом теле.

Рис. 43. Поведение теплоемкости твердых тел с изменением температуры

Для этого умножим на число колебательных степеней свободы

Отсюда теплоемкость одного моля твердого тела

Последнее выражение представляет так называемый закон Дюлонга и Однако, как показывает приведенный на рис. 43 график, закон Дюлонга и выполняется далеко не для всех твердых тел и не во всем температурном интервале.

Рост теплоемкости при высоких температурах можно объяснить с классической точки зрения, если предположить что с увеличением температуры колебания становятся

ангормоническими и потенциальная энергий выражается формулой

В этом случае средняя потенциальная энергия будет больше , что приведет к росту теплоемкости. Уменьшение же теплоемкости при низких температурах не может быть объяснено классической теорией.

Как видно из двух последних параграфов, классическая теория удовлетворительно согласуется с опытом только для отдельных веществ и в определенном, довольно узком, интервале температур. Возникшие затруднения в объяснении теплоемкости газов и твердых тел при низких температурах явились принципиальным камнем преткновения классической статистики.

Разрешены эти вопросы были только в так называемой квантовой статистике (см. гл. XI). Там же показывается, что классические значения для теплоемкости получаются только как частный случай общих формул, получаемых для теплоемкости в квантовой статистике.