§ 5. Классическая теория электронного газа

В 1905 г. Друде предложил классическую электронную модель металла, согласно которой электроны проводимости рассматривают как идеальный электронный газ. Свободные электроны участвуют в хаотическом тепловом движении, сталкиваясь с ионами кристаллической решетки и обмениваясь с ними энергией.

Среднюю кинетическую энергию теплового движения электронов можно поэтому считать равной средней кинетической энергии ионов в решетке, т. е.

Рис. 47. Сравнение экспериментальной спектральной плотности излучения с формулой Релея — Джинса

Движущиеся электроны будут создавать внутри металла давление определяемое по формуле (см. гл. III, § 4):

где число свободных электронов в которое в одновалентных металлах равно числу атомов в Для меди такое давление электронного газа будет равно примерно 3000 атм (см. задачу 4).

Потенциальный барьер, который создается на границе двойным электрическим слоем, имеющим толщину порядка см, удерживает свободные электроны в металлах. Таким образом, электроны в металле можно рассматривать находящимися в потенциальной яме.

Теплопроводность металла обусловлена теплопроводностью электронного газа, и коэффициент теплопроводности по аналогии с идеальным газом равен :

где число свободных электронов в длина свободного пробега электрона, средний модуль скорости теплового движения электрона, постоянная Больцмана.

Классическая модель электронного газа позволяет также выразить коэффициент электропроводности металла. При этом считается, что в электрическом поле за время между столкновениями с ионами решетки электрон движется с ускорением

При очередном столкновении электрон передает всю полученную от электрического поля кинетическую энергию иону и после столкновения снова движется с тем же ускорением. Средняя за время между столкновениями скорость направленного движения электронов будет:

так как среднее значение скорости хаотического движения равно нулю.

Благодаря средней скорости направленного движения электронов в металле возникает ток с плотностью

Последняя формула представляет закон Ома, записанный в дифференциальной форме. Если вместо времени ввести длину свободного пробега , то для коэффициента электропроводности получим:

Пользуясь соотношением (8.31), найдем отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности металлов:

Последняя формула представляет известный из эксперимента закон Видемана — Франца.

Таким образом, мы видим, что классическая модель электронного газа позволяет получить некоторые законы теплопроводности и электропроводности металлов. Однако дальнейшее расширение области применения теории электронного газа привело к существенным противоречиям. Например, вводя удельное сопротивление заменяя среднюю скорость теплового движения электрона на , получаем:

Опыт же дает для металлов следующую зависимость:

Другое противоречие возникает при рассмотрении теплоемкости металла. Считая, что на каждый колеблющийся ион кристаллической решетки приходится один свободный электрон со средней энергией для внутренней энергии одного грамм-атома металла получим:

Откуда для теплоемкости металла (с учетом теплоемкости электронного газа) вместо установленных эмпирическим законом Дюлонга и следует:

Оказывается также, что электроны в металле не подчиняются максвелловскому распределению по скоростям. Объяснить целый ряд явлений, наблюдаемых в металлах, полностью удалось только в квантовой теории металлов.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)