§ 5. Статистики квантовых систем

Для решения многих задач статистической физики достаточно знать функцию распределения системы по возможным состояниям. Основными законами распределения в классической статистической физике были распределение Гиббса и распределение Максвелла — Больцмана.

Распределение Гиббса, как мы видели, обобщается на случай квантовых систем введением минимального объема фазового пространства. Распределение же по энергиям для квантовых систем мы получим, воспользовавшись методом ячеек Больцмана.

В случае квантовой статистики разбиение на отдельные ячейки, отличающиеся друг от друга по энергии, отражает существование энергетических уровней системы, т. е. оказывается более естественным, чем в классической статистике.

Состояния с энергией являются возможными состояниями квантовой системы. Какова вероятность найти эту систему в состоянии с энергией Чтобы ответить

на этот вопрос, мы рассмотрим большое число равноценных систем со спектром собственных значений энергии находящихся в состоянии теплового равновесия. Тогда число систем, которые будут иметь энергию и определит термодинамическую вероятность состояния системы с энергией

Но прежде чем приступить к такому подсчету, заметим, что в физических системах при различных условиях, могут проявляться не все особенности квантовых систем. В одних случаях может проявляться только дискретность различных параметров, в других же только неразличимость частиц и принцип Паули.

Проявление тех или других особенностей приведет к различному числу возможных состояний и, следовательно, к различным функциям распределения. Соответственно существуют три квантовых статистики: статистика Максвелла — Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака.

В статистике Максвелла — Больцмана частицы считаются различными, а энергия может йметь как дискретный, так и непрерывный спектр. В статистике Бозе — Эйнштейна частицы считаются неразличимыми и имеют дискретные значения энергии, а в статистике Ферми — Дирака дополнительно учитывается принцип Паули.

Различие между тремя статистиками легко заметить при подсчете числа возможных состояний двух частиц (табл. 1).

Таблица 1 (см. скан) Сравнение числа возможных состояний двух частиц, определяемых распределением по ячейкам, в различных статистиках

Получим распределение по энергиям в статистике Бозе — Эйнштейна, рассматривая квантовые системы, описываемые симметричными волновыми функциями. Такие системы являются неразличимыми, но в любом состоянии их может находиться любое число. Рассмотрим состояний с энергией систем, распределяющихся по этим состояниям. Число способов, какими неразличимых объектов можно разместить по нумерованным ячейкам (см. задачу 2 данной главы), определяется формулой

Оно и характеризует число возможных состояний для заданных Для других число возможных состояний будет другим. Всего же возможных состояний будет:

Прологарифмируем это выражение:

И, воспользовавшись формулой Стерлинга (см. Приложение) для больших чисел найдем:

Сложив вариацию от (10.29) с вариациями от (10.16) и (10.17) с неопределенными коэффициентами получим:

Считая энтропию при равновесии максимальной, найдем условия, при которых

Поскольку все вариации, кроме можно считать равными нулю, то

Таким образом, при равновесии, Когда число возможных состояний оказывается максимальным, получаем для числа систем в ячейках с энергией формулу

Функцию распределения по энергиям, или число частиц, приходящихся на одну ячейку, найдем по формуле

Последняя формула представляет собой функцию распределения по энергиям в статистике Бозе-Эйнштейна. Постоянная а определяется из условия нормировки, а (см. задачу 4).

Далее рассмотрим квантовые системы, подчиняющиеся статистике Ферми — Дирака, т. е. удовлетворяющие принципу Паули. В этом случае в одном квантовом состоянии не может быть больше одной частицы и, следовательно, Тогда число всевозможных размещений систем по ячейкам будет равно (см. задачу 3).

А полное число всевозможных состояний при любом числе систем и любом числе ячеек будет выражаться произведением вида:

Для вариации логарифма числа состояний получим:

Сложим последнее равенство с вариациями от (10.15) и (10.16) и приравняем нулю:

Так как любая из вариаций не обращается в нуль, то

Отсюда число частиц распределяющихся при равновесии по ячейкам с энергией равно:

Соответственно, функция распределения по энергиям:

где а находится из условия нормировки, а Это и есть распределение Ферми — Дирака.