§ 2. Поперечные сечения. Длина свободного пробега

Изучая взаимодействие, рассеяние и реакции между частицами, мы сталкиваемся с понятием поперечного сечения.

Проще всего проиллюстрировать это понятие на примере твердых сферических молекул. Такие молекулы взаимодействуют друг с другом только в том случае, если они непосредственно соприкасаются своими поверхностями.

Тогда центры двух молекул не могут сблизиться на расстояние, меньшее, чем диаметр молекулы (рис. 18, а). Если считать, что молекулы движутся относительно друг друга, то столкновение может произойти всякий раз, когда центр движущейся молекулы при своем движении пересечет площадку вокруг другой молекулы. Эта площадь и является поперечным сечением для процесса столкновения частиц. Поперечное сечение является количественной характеристикой вероятности определенного процесса.

Для реальных молекул, не имеющих жестких границ, а имеющих поле сил взаимодействия, ввести понятие поперечного сечения труднее. В этом случае вводится так называемое эффективное сечение, которое определяется через вероятность того или иного процесса. По эффективному сечению можно оценить размеры молекул. Эффективные сечения одной и той же молекулы для различных процессов могут быть различными.

Рис. 18. Эффективное сечение столкновения двух шаров

Значения эффективных сечений молекул через длину свободного пробега I и время релаксации определяют как явления релаксации, так и явления переноса.

Получим приближенное выражение средней длины свободного пробега молекул в газе. Для этого предположим, что молекулы являются твердыми шарами радиуса и между ними происходят упругие столкновения.

Если все молекулы, кроме одной, считать неподвижными, то движущаяся молекула будет двигаться по отношению к ним как бы со средней скоростью относительно движения Проходя в единицу времени относительно неподвижных молекул путь, численно равный скорости молекула как бы перемещается в объеме цилиндра с основанием (сечение рассеяния) и высотой (рис. 18, б).

За одну секунду движущаяся молекула столкнется со всеми молекулами, центры которых будут находиться в этом объеме. Число таких столкновений

где число молекул в единице объема.

Среднюю длину пути, проходимого молекулой без столкновений, найдем, деля путь за 1 сек (численно равный средней скорости на число столкновений:

Так как при максвелловском распределении средняя скорость относительно движения раз больше средней скорости то окончательно для средней длины свободного пробега получим формулу

которая показывает, что длина свободного пробега обратно пропорциональна квадрату диаметра молекул и числу молекул в единице объема.

Мы предполагали, что газ является настолько разреженным, что происходят только двойные столкновения молекул. Так как на самом деле молекулы не являются твердыми шарами, то диаметр будет характеризоваться эффективными размерами поля сил взаимодействия таких молекул.

Строгий учет потенциала сил взаимодействия между молекулами приводит к зависимости свободного пробега от температуры по формуле Сезерленда

где свободный пробег, вычисленный для жестких сферических молекул и С — постоянная Сезерленда, своя для каждого газа.

Среднее время свободного пробега между столкновениями молекул можно определить, деля длину свободного пробега на среднюю скорость движения молекул