§ 3. Изображение системы в фазовом пространстве

В этом параграфе мы рассмотрим общий метод статистического рассмотрения системы материальных точек, предложенный в прошлом веке Гиббсом.

Как было показано, точное решение всех уравнений для движения частиц, составляющих систему, представляет принципиально неразрешимую задачу.

Но предположим, что мы решили систему канонических уравнений движения (5.1) и получили первых интегралов, которые можно Представить в следующем виде:

Эти уравнений удобно представить как уравнения движения системы в так называемом фазовом пространстве. Под фазовым пространством системы понимается воображаемое -мерное пространство всех обобщенных координат и обобщенных импульсов системы.

Любое возможное микросостояние системы (ее фаза) изобразится в таком -мерном пространстве точкой. Тогда все пространство будет представлять собой набор различных фаз, т. е. различных состояний системы. Поэтому это пространство и называется фазовым пространством. Поскольку такое -мерное пространство применяется для рассмотрения газа, то его часто называют -пространством.

Если система связанная или имеет внутренние степени свободы, т. е. может иметь не степеней свободы, то для нее фазовое пространство будет иметь измерений. Таким образом, для любой физической системы можно выбрать свое фазовое пространство.

Реальная система в определенный момент времени находится в одном из возможных мркросостояний, т. е. всегда изображается одной точкой в фазовом пространстве. Но в реальной системе происходит движение составляющих ее частиц, благодаря чему непрерывно меняются и ее микросостояния. Изменение микросостояния системы со временем изобразится в фазовом пространстве некоторой линией, так называемой фазовой траекторией уравнений (5.2) как раз являются параметрическими уравнениями фазовой траектории.

Рассмотрим некоторые свойства фазовых траекторий. Любая траектория системы в фазовом пространстве определяется начальными условиями (одной начальной точкой), т. е. заданием значений обобщенных координат и значений обобщенных импульсов в начальный момент (при t = 0).

Траектория системы в фазовом пространстве не может пересекаться, хотя может быть замкнутой. Это двязано с тем, что в механической системе при одних и тех же начальных условиях решение должно быть однозначным.

Обычно довольно трудно представить вид и проследить за ходом фазовой траектории реальной системы даже нескольких частиц. Поэтому рассмотрим лишь простой пример фазовой траектории гармонического осциллятора.

Гармрническим осциллятором называется материальная точка, Движущаяся под действием квазиупругой силы вдоль некоторой прямой. Поскольку такая точка имеет одну степень свободы, то можно за обобщенную координату взять расстояние по этой прямой от положения равновесия. Кинетическая энергия выразится через обобщенный импульс следующим образом:

а потенциальная — через обобщенную координату так:

Следовательно, функция Гамильтона будет:

Система канонических уравнений в рассматриваемом случае имеет следующий вид:

Исключая найдем уравнение для определения

из которого, обозначая получаем:

Подставляя это значение в исходные уравнения (5.3), найдем:

Можно показать, что для гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной. Действительно, запишем:

и так как

Полная энергия гармонического осциллятора постоянна и находится как сумма кинетической (5.6) и потенциальной (5.7) энергий:

Отметим, что энергия классического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты Изобразим состояние осциллятора в фазовом пространстве, которое будет двумерным пространством с осями

Уравнения в виде:

как раз и будут параметрическими уравнениями фазовой траектории гармонического осциллятора. Исключая время, найдем уравнение фазовой траектории:

Таким образом, фазовая траектория гармонического осциллятора представляет замкнутый эллипс с полуосями (рис. 22). Состояние осциллятора изображается точкой этого эллипса, которая со временем перемещается по этому эллипсу.

Рис. 22. Фазовая траектория гармонического осциллятора

В случае же более сложных систем определить фазовую траекторию оказывается невозможно и мы не можем проследить за изменением микросостояний со временем.