§ 6. Макроскопические величины как фазовые средние

Набор микросостояний, совместимых с определенным макроскопическим состоянием, будем рассматривать как набор массовых однородных событий, которыми можно характеризовать реальную систему. Каждому макроскопическому состоянию системы соответствует свое, но всегда достаточно большое число микросостояний. Это позволяет

ввести функцию распределения по случайным микросостояниям, системы. Все фазовое пространство образует полный набор случайных микросостояний. Функция распределения по микросостояниям в фазовом пространстве позволит определять вероятность любого микроскопического состояния системы, а также средние значения любых макроскопических параметров системы, зависящих от микросостояния. Любая физическая величина является функцией микроскопических переменных которые зависят от времени:

Поэтому также непрерывно изменяется со временем. Однако в любом физическом эксперименте измеряются не мгновенные значения физических величин, а (благодаря применению макроскопических приборов) некоторые усредненные по времени значения.

Действительно, пусть, например, мы измеряем давление газа. В этом случае наша реальная система в каждый момент времен изображается в фазовом пространстве одной точкой.

Для того чтобы измерить давление прибором, нам необходим некоторый промежуток времени . В течение этого времени система, проходя через соответствующие микросостояния, опишет в фазовом пространстве определенный отрезок траектории.

Чтобы найти среднее значение какого-либо параметра необходимо усреднить его значения по времени:

Это означает, что нужно усреднить только по той части фазового пространства, которая содержит точки (различные микроскопические системы), соответствующие траектории системы за отрезок времени длительностью (рис, 24). Но найти среднюю по времени величину (5.24) в общем случае невозможно, так как неизвестны микроскопических параметров т. е. невозможно проследить за всеми временными изменениями микросостояний. Поэтому в статистической физике предлагается физические параметры определять как фазовые средние, т. е. вычислять средние значения по времени не для одной системы, а брать

средние значения по многим системам (по фазовому ансамблю) в один и тот же момент времени.

Допускается, что наблюдаемые на опыте физические величины могут быть найдены как средние значения, вычисленные по множеству допустимых микросостояний. Этим именно путем и идет статистическая термодинамика.

Рис. 24. Изображение части фазового пространства. Каждая точка изображает микросостояние системы

Любая физическая (макроскопическая) величина может быть определена через функцию распределения как среднее значение по всему фазовому ансамблю в виде:

При этом предполагается, что фазовые средние должны быть равны средним по времени которые определяются из опыта.

Предположение о тождественности средних по времени и средних по пространству до сих пор не имеет общего доказательства и носит название эргодической гипотезы. Сама задача доказательства тождественности обоих типов средних представляет в современной статистической физике так называемую эргодическую проблему. Однако в ряде случаев эргодическая гипотеза имеет опытное подтверждение.

Итак, любой макроскопический параметр согласно эргодической гипотезе можно определить как среднее значение этого параметра по всему фазовому пространству, в котором вероятности различных микросостояний задаются определенной функцией распределения

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)