§ 3. Чувствительность различных измерительных приборов

Любая физическая или механическая величина благодаря флуктуациям непрерывно изменяется около своего среднего значения, что определяет предел чувствительности всякого измерительного прибора. Действительно, если значения физической величины меньше, чем флуктуации в приборе, то физическую величину невозможно определить при однократном измерении. Рассмотрим несколько примеров.

1. Для измерения температуры газовым термометром используют измерение объема газа при постоянном

давлении. Поэтому чувствительность газового термометра будет определяться флуктуациями объема газа. Так как газ в термометре удовлетворяет уравнению Клапейрона — Менделеева, то изменение объема на приводит к следующему изменению температуры:

Подставляя из (9.11), получим:

Если учесть, что то ошибка в измерении температуры газовым термометром вследствие флуктуации объема оказывается очень малой:

2. Часто для измерения физической величины используют отклонение стрелки прибора или поворот кварцевой нити. В этом случае флуктуации нити или стрелки (тепловое движение) также ограничивают чувствительность прибора. Величину случайных отклонений стрелки можно оценить, считая, что стрелочный прибор имеет одну вращательную степень свободы со средней энергией теплового движения . Нить или стрелка будут совершать малые колебания около положения равновесия, для которых средняя кинетическая энергия будет равна средней потенциальной, т. е.

где средний квадрат угла отклонения от положения равновесия и — коэффициент упругости. Отсюда

Следовательно, чем чувствительнее прибор (чувствительность обратно пропорциональна упругости а), тем больше будут флуктуации в его показаниях. Если стрелка прибора имеет большую массу, то флуктуации практически

не влияют на его показания, но и чувствительность тогда оказывается низкой. Таким образом, точность измерений ограничивается флуктуациями.

Интересно заметить, что через средний квадрат углового отклонения кварцевой нити можно экспериментально определить постоянную Больцмана (см. задачу 5).

3. В электрических цепях также возникают тепловые токи, связанные с флуктуациями в распределении зарядов.

Рис. 51. Стоячие волны в проводнике длины I

Однако любые изменения в плотности зарядов благодаря электрическому полю передаются внутри проводника в виде волн. При этом наиболее устойчивыми флуктуациями оказываются такие, которые приводят к возникновению в проводнике стоячих волц. Число стоячих электромагнитных волн с частотой от до в проводнике длиною I с учетом поляризации будет равно (рис. 51):

Будем считать, что на каждую стоячую волну приходится энергия соответствующая энергии гармонического осциллятора. Тогда энергия стоячих волн с частотой от до в цепи длиною I будет:

Мощность же таких флуктуационных волн с частотами от до на единицу длины цепи равна:

Так как флуктуационные токи возникают вследствие теплового движения зарядов внутри проводника, то вся их энергия снова переходит в тепло на сопротивлении. Потеря мощности на единице длины проводника с сопротивлением по закону Джоуля — Ленца равна:

где средний квадрат флуктуационной э. д. с. для волн с частотой

Получается, что мощность, выделяемая одним сопротивлением в виде флуктуационных токов, поглощается другими сопротивлениями. При тепловом равновесии поглощаемые мощности на участках с одинаковым сопротивлением должны быть равны независимо от природы сопротивления, так как иначе одно сопротивление нагревалось бы за счет другого, что противоречило бы второму началу термодинамики.

Сравнивая (9. 23) и (9. 24) для. флуктуационной э. д. с., получим формулу Найквиста в виде:

Эта формула показывает, что квадрат флуктуационной э. д. с. пропорционален температуре и сопротивлению проводника.

Флуктуационные токи, а также «дробовый эффект» связанный с флуктуациями числа вылетающих из катода электронов, ограничивают чувствительность современных электронных приборов.