129. Уравнение теплопроводности.

В [120] мы видели, что количество тепла, проходящее за время через элемент поверхности принимается равным

где k — коэффициент внутренней теплопроводности, -температура и направление, нормальное к Рассмотрим замкнутую поверхность (S), ограничивающую объем и подсчитаем полное количество тепла, проходящее через (S). Нетрудно видеть, что мы получим

При этом, если в направлении внешней нормали температура убывает, то и соответствующий элемент интеграла будет отрицательным, а при возрастании температуры картина будет обратная. Принимая во внимание, что тепло течет в направлении убывания температуры и знак в правой части (81), можем утверждать, что Q есть количество тепла, отдаваемого объемом за промежуток времени dt. Втекающее в (v) тепло будет подсчитываться формулой (81) со знаком (—).

То же количество отдаваемого тепла можно подсчитать иначе, следя за изменением температуры внутри объема. Рассмотрим элемент объема На увеличение температуры этого элемента на за промежуток времени нужно затратить количество тепла, пропорциональное повышению температуры и массе элемента, т. е. количество тепла:

где — плотность вещества, — коэффициент пропорциональности, который называется теплоемкостью вещества. Таким образом отдаваемое всем объемом тепло выразится но формуле

причем знак мы ставим потому, что подсчитывается отдаваемое, а не получаемое тепло.

Приравнивая полученные два выражения для и применяя формулу (37) из [121], будем иметь

т. е. при произвольном объеме должно иметь место соотношение

откуда мы получим дифференциальное уравнение теплопроводности

или

Это уравнение должно выполняться во всех точках внутри рассматриваемого тела. Температура U зависит от координат точки и времени.

Если тело не только изотропно [120], но и однородно, то — постоянные, и уравнение (83) можно переписать в виде

или

Если тепловое явление стационарно, т. е. температура не зависит от времени а только от координат , то уравнение (84) перепишется в виде

Мы получили таким образом для температуры в стационарном тепловом процессе уравнение Лапласа, которое мы уже встречали выше.

При выводе уравнения теплопроводности (83) мы предполагали, что в рассматриваемом теле отсутствуют источники тепла. В противном случае мы должны были бы вместо равенства (82) написать другое равенство, а именно

где последнее слагаемое в правой части представляет количество тепла, выделяемого в объеме причем это количество тепла рассчитано на единицу времени.

Подынтегральная функция дает напряженность источников тепла, непрерывно распределенных в объеме (v), и эта функция может зависеть как от времени, так и от положения точки М. Вместо дифференциального уравнения теплопроводности (83) мы получили бы уравнение вида

или, в случае однородного тела, вместо уравнения (84) мы имели бы

Уравнения (87) и (84) аналогичны уравнениям (79) и (80) из [128]. Наличие источников тепла в уравнениях теплопроводности аналогично наличию внешних сил или, точнее говоря, источников звука в уравнениях распространения звука. Как то, так и другое обстоятельства делают дифференциальное уравнение неоднородным, т. е. уравнения (79) и (87), кроме членов, содержащих искомую функцию s или U, содержат еще и свободные члены или , которые надо считать заданными функциями. Обратим внимание и на существенную разницу между уравнениями (80) и (84). Первое

из них содержит вторую производную от искомой функции по времени, тогда как второе содержит первую производную по времени. Это обстоятельство существенным образом скажется при интегрировании этих уравнений.