11. Кинематика деформации. Вектор завихренности.

Рассуждения этого раздела основаны на простом представлении тензора

где

Тензоры являются соответственно симметрической и кососимметрической частью Изложение будет удобно разбить на две части.

1. Тензор деформации. Обозначим через жидкий элемент дуги. Скорость изменения этого элемента при движении жидкости выражается формулой

или, в векторной форме,

Из уравнения (11.2) следует, что

где Таким образом, тензор представляет собой меру скорости изменения квадрата элемента дуги, движущейся Вместе с жидкостью. Если жидкость движется как твердое тело, то поэтому необходимым и достаточным условием того, чтобы в данный момент времени жидкость локально двигалась как твердое тело, является условие Исходя из этих соображений, называют тензором деформации. Тензор также представляет интерес; равенство этого тензора нулю является необходимым и достаточным условием сохранения углов (в данной точке в данный момент времени).

Если то жидкость движется как твердое тело и

Величина здесь не зависит от и равна удвоенной угловой скорости вращательного движения. Аналитически соотношение (11.3) является следствием системы уравнений первого порядка с частными производными и легко получается из первых интегралов этой системы.

2. Общий случай движения жидкости. Рассмотрим поле скоростей в окрестности некоторой фиксированной точки Если понимать под значение величины в точке то для точек, близких к

здесь через обозначен радиус-вектор, отложенный из точки Если пренебречь членами порядка и воспользоваться представлением (11.1), то мы получим

Выясним теперь смысл отдельных членов этой формулы.

Первый член представляет поступательное движение с постоянной скоростью Положив мы можем записать второй член в виде

Поле скоростей, соответствующее этому члену, в каждой точке ортогонально поверхности эллипсоида проходящей через эту точку. В этом поле скоростей есть три взаимно перпендикулярных направления — главные оси деформации, не участвующие в мгновенном вращательном движении (соответствующем этому полю скоростей). Главные значения тензора равны скоростям относительного удлинения жидких элементов в этих направлениях.

Последний член формулы (11.4) можно записать в виде

где представляет собой вектор завихренности. [Для доказательства формулы (11.6) проще всего

воспользоваться тем, что

Легко видеть, что вектор (223, 231, 212) равен Векторная запись (11.6) последнего члена, показывает, что этот член характеризует вращение жидкости как твердого тела с угловой скоростью

Сопоставляя полученные выше результаты, мы приходим к следующему истолкованию соотношения (11.4). Для произвольного движения поле скоростей вблизи данной точки с точностью до бесконечно малых второго порядка имеет вид

де определяет эллипсоид деформации, вектор завихренности. Таким образом, любое мгновенное состояние движения сплошной среды является в каждой точке суперпозицией поступательного движения, растяжения по трем взаимно ортогональным осям и вращения этих осей как твердого тела. Угловая скорость указанного вращения равна Сформулированное предложение позволяет утверждать, что представляет собой мгновенную скорость вращения жидкости в данной точке.

Если в данной точке то из формулы (11.7) следует, что движение локально представляет собой мгновенное вращение; если же то движение является суперпозицией чистого растяжения и вращения. Эти результаты служат подтверждением предложений, высказанных выше. С другой стороны, если в конечном объеме жидкости то относительное движение любого элемента этого объема является чистой деформацией и называется безвихревым. В этом случае можно показать, что поле является потенциальным, т. е. представляет собой градиент некоторого потенциала см. [48], стр. 101.