Глава 7. ВЯЗКИЕ ЖИДКОСТИ

§ 1. Основные уравнения движения вязкой жидкости

58. Тензор напряжений.

Вектор напряжений описывающий действие внутренних сил на выделенную поверхность, представляется, как показано в п. 6, в виде

где тензор напряжений, единичный вектор нормали к рассматриваемой поверхности. Введение тензора напряжений в уравнения движения имеет своей целью учет реакций, возникающих в среде в процессе ее движения. Устанавливая связь между тензором и другими кинематическими и термодинамическими переменными, мы тем самым определяем и классифицируем тип среды, например жидкость, упругая среда, пластическая среда и т. д. Такое соотношение между тензором и другими переменными носит название определяющего уравнения. Примером определяющего уравнения может служить, в частности, уравнение устанавливающее указанное соответствие в случае идеальной жидкости.

В следующих пунктах будут выведены определяющие уравнения, применимые к жидкостям, в которых существенную роль играют касательные напряжения. Применяемый здесь метод берет свое начало от работ Стокса и Буссинеска. Дальнейшее развитие этого метода в исследованиях

Райнера, Ривлина и Трусделла привело к определяющим уравнениям общего вида, включающим в себя в качестве частного случая классический закон Коши — Пуассона и охватывающим все. известные типы непрерывной среды. Был значительно усовершенствован также вывод определяющих уравнений. В первом параграфе этой главы устанавливается четкая система условий, которым должно удовлетворять поведение жидкости при ее деформациях. В качестве прямого следствия этой системы аксиом мы получаем определяющие уравнения. Простота логической структуры вывода определяющих уравнений позволяет при этом глубже понять математическую сторону вопроса об определении понятия жидкости. Теория, построенная на основе указанной схемы рассуждений, учитывает нелинейные эффекты вязкости, которые могут играть большую роль в некоторых сложных случаях, таких, как исследование ударного слоя, пограничного слоя и полетов на больших высотах.

Все наши рассуждения не выходят за рамки механики сплошных сред. Молекулярная природа жидкостей и газов при этом в расчет не принимается. Это может, конечно, в некоторых случаях вызвать сомнения в применимости теории. Такие сомнения возникают, например, в применимости уравнений Навье-Стокса к изучению полетов на больших высотах или к изучению ударного слоя в связи с тем, что средняя длина свободного пробега молекул является в этих случаях величиной того же порядка, что и характерный размер. Однако вопрос решается в конце концов не убедительностью доводов, а сравнением результатов теории с экспериментом. При таком сравнении оказывается, что уравнения Навье-Стокса дают хорошие результаты в указанных выше и в подобных случаях. Добавим, что при выборе между кинетической теорией и теорией сплошных сред основным фактором является простота и стройность последней теории.