§ 4. Вариационные методы

Широкое и успешное применение вариационных принципов в классической механике вызвало много попыток сформулировать аналогичным образом законы механики сплошных сред. Некоторые из этих формулировок будут рассмотрены ниже, в п. 14, все полученные в этом пункте результаты переносятся без всяких изменений на случай произвольной сплошной среды. В п. 15 исследуются некоторые специальные вариационные принципы, справедливые только для движений идеальной жидкости.

14. Произвольные жидкости.

Вариационные принципы, соответствующие некоторой диссипативной системе, в точности соответствуют особенностям механизма диссипации этой системы; их нельзя без существенных изменений обобщить на другие системы. Этот факт облегчает формулировку вариационных принципов механики жидкости и указывает, с другой стороны, на необходимость предварительного выяснения свойств исследуемого явления. Следует подчеркнуть, что установленная ниже система вариационных принципов более или менее эквивалентна системе уравнений движения жидкости и является по существу другой формулировкой этих законов движения, приспособленной к применению методов вариационного исчисления.

Пусть обозначает виртуальное перемещение частицы жидкости из точки х, в которой она находится в данный момент времени Векторная функция предполагается ограниченной и непрерывно дифференцируемой; кроме того, она должна удовлетворять всем ограничениям, наложенным на перемещение жидкости. В частности, последнее условие содержит в себе требование, чтобы вектор лежал в касательной плоскости любой стенки, ограничивающей жидкость. Виртуальную работу, соответствующую виртуальному перемещению определим следующей формулой:

здесь — объем, занимаемый жидкостью, -тензорная функция точки, а

является виртуальной работой внешних сил и поверхностных напряжений Второй член формулы, определяющей специфичный для механики сплошной среды, отражает то обстоятельство, что при деформации жидкой среды затрачивается работа на преодоление сил напряжения. В дальнейшем мы не будем пользоваться предположением о симметричности Заметим, однако, что при несимметричном виртуальному перемещению жидкости как твердого тела отвечает, вообще говоря, ненулевая виртуальная работа по деформации

жидкости. По этой причине обычно рассматривают только симметричные тензоры напряжений

Сформулируем теперь основной вариационный принцип Даламбера — Лагранжа:

Жидкость движется таким образом, что

для всех виртуальных перемещений, которые удовлетворяют заданным кинематическим условиям. Если на движение жидкости не наложено никаких ограничений, кроме условия на неподвижной границе, то после хорошо известных рассуждений получаем, что для экстремалей задачи (14.2)

Первое уравнение имеет место в любой внутренней точке, второе — на "свободной" поверхности. Эти формулы в точности совпадают с уравнениями движения, выведенными ранее.

Методы вариационного исчисления позволяют исследовать движение жидкости, в котором частицы могут перемещаться только по заданному семейству поверхностей или связаны какими-нибудь другими ограничениями. Читатель, интересующийся этими вопросами, может обратиться к статье Хеллингера в Энциклопедии математических наук

Указанный принцип Даламбера — Лагранжа можно сформулировать также в форме принципа Гамильтона. Для этого нужно связать виртуальное перемещение с вариацией траекторий частиц. Пусть множество траекторий, полученных в результате вариации рассматриваемого движения имеет вид где

Если ввести символ

то виртуальное перемещение, соответствующее полученному в результате вариации движению, запишется в виде

В силу того что и перестановочны,

Вариация плотности определяется условием сохранения массы жидкости при перемещениях составляющих эту массу частиц. Математически это условие приводит к следующему "условию неразрывности":

В самом деле, если для движения в качестве времени взять параметр в, то величина будет играть роль начальной скорости; таким образом, соотношение (14.5) следует сразу из уравнения неразрывности при замене в последнем и на соответственно. Аналогичными рассуждениями доказывается формула

Условие (14.5) является также следствием следующих предположений: а) каждое движение, полученное в результате вариации, удовлетворяет уравнению неразрывности и б) виртуальные перемещения равны нулю в некоторый фиксированный момент времени. Если умножить обе части соотношения (14.4) на и проинтегрировать по объему 23, движущемуся с жидкостью, то применение формул (5.7) и (14.6) приводит к уравнению

где обозначает кинетическую энергию, т. е.

Наконец, в силу принципа Даламбера — Лагранжа уравнение (14.7) можно записать в виде

Это уравнение справедливо в том случае, когда полученное в результате вариации движение удовлетворяет уравнению неразрывности (14.5) и согласовано с внешними связями, наложенными на рассматриваемое движение. Проинтегрировав уравнение (14.8) по от до и предположив, что при мы получим так называемый принцип Гамильтона:

справедливый для любого полученного в результате вариации движения, удовлетворяющего условию неразрывности, внешним связям и условию при