43. Метод годографа.

Несмотря на относительную простоту уравнений (42.9) или (45.4), их применение приводит к серьезным затруднениям, обусловленным нелинейностью этих уравнений. Моленброк в 1890 г. заметил, что дифференциальные уравнения движения становятся линейными, если перейти к плоскости годографа, где роль независимых переменных играют компоненты скорости и Этот метод был использован Чаплыгиным в его знаменитой работе о газовых струях и стал затем классическим

методом исследований по газовой динамике, применявшимся многими учеными. Мы ограничимся здесь изложением основ метода годографа, не касаясь широкого круга приложений преобразования годографа.

Как мы уже видели, потенциал скорости и функция тока установившегося безвихревого течения. удовлетворяют соотношениям

Нас интересуют те уравнения, которым удовлетворяют функции если за независимые переменные взять модуль скорости и угол наклона вектора скорости Предлагаемый ниже вывод этих уравнений является, вероятно, наиболее простым. Заметим прежде всего, что

здесь Рассматривая теперь как независимые переменные, получаем

Используя равенство после несложных преобразований находим

Приравнивая в этом уравнении действительные и мнимые части по отдельности и применяя уравнение Бернулли (37.9), приходим к так называемым уравнениям годографа-.

Решение уравнений (43.2) соответствует течению в физической плоскости только в том случае, когда якобиан перехода от переменных к переменным х, у не равен нулю. Поэтому представляет интерес найти выражение этого якобиана в переменных плоскости годографа, т. е. величину

Заметим, что в случае дозвуковых течений этот якобиан отличен от нуля всюду, кроме, быть может, некоторого множества изолированных точек. Точнее говоря, введение переменных годографа основано на предположении независимости не х и у. решения, для которых эти переменные являются зависимыми, т. е.

не могут, быть получены методом годографа, так как образ области соответствующего течения на плоскости представляет робой некоторую кривую. Теорию таких течений читатель сможет найти в IX томе этой Энциклопедии в статье Шиффера, Дальнейшие подробности относительно особых точек преобразования годографа можно найти в книге Куранта и Фридрихса ([21], § 30, 105).

Из уравнений (43.2) легко получить уравнения в плоскости годографа, содержащие только или только Так, например, исключив функцию и введя новую переменную

мы получим

Это уравнение служит отправной точкой для широкого круга исследований по теории дозвуковых и околозвуковых течений. При изучении дозвуковых течений иногда применяется другая независимая переменная:

уравнение для функции тока принимает при этом следующий вид:

Следует упомянуть также уравнения годографа, которые получаются в результате преобразования Лежандра:

В силу очевидных соотношений

имеем

Эти уравнения эквивалентны полученным выше уравнениям (43.2).

Как заметил Крокко, систему уравнений годографа (43.2) и (43.5) можно записать в изящной симметричной форме, если одновременно с переменной ввести другую независимую переменную Действительно, в переменных и 8- мы имеем

и аналогично