71. Энергетические соотношения.

Мы обращаем внимание читателя на два полезных и часто используемых тождества: формулу Ламба — Томсона для кинетической

энергии

и формулу Бобылева — Форсайта для диссипации энергии

В этих формулах через обозначен конечный объем, ограниченный поверхностью . Заметим, что справедливость формул (71.1) и (71.2) проверяется формальными выкладками, основанными только на уравнении неразрывности и формуле диссипации В том случае, когда скорости на в равны нулю, формулы (71.1) и (71.2) принимают более простой вид, а именно

и

Для доказательства формулы (71.1) мы воспользуемся следующими тождествами:

при проверке второго из них надо иметь в виду, что Сравнивая эти тождества и применяя теорему Гаусса — Остроградского, получаем

откуда сразу следует формула (71.1). Формула (71.1) легко обобщается на случай сжимаемы к жидкостей; в этом случае

она имеет вид

Заметим, что в формулах (71.1) и (71.5) подинтегральную функцию интеграла по поверхности можно записать в более симметричной форме, а именно так:

Доказательство формулы (71.2) основывается на том, что в силу уравнения (28.1)

так как Отсюда формула (71.2) получается простым применением теоремы Гаусса-Остроградского.

Приведенные здесь доказательства значительно проще аналогичных доказательств Ламба ([8], стр. 273 и 726). Несколько других энергетических соотношений было приведено нами ранее (см. п. 26).