46. Теоремы существования и единственности.

Мы рассматриваем, как и в предыдущих пунктах, обтекание неподвижного профиля плоским установившимся потоком. Основной задачей при этом является определение движения жидкости, если 1) заданы условия на бесконечности и величина циркуляции или 2) заданы условия на бесконечности, а циркуляция определяется из условия Жуковского — Кутта. В обоих этих случаях нужно доказать существование и единственность течения и указать методы его расчета. В последнее время исследование этих задач шло довольно успешно. Мы рассмотрим здесь только результаты, касающиеся вопроса о существовании и единственности, так как описание методов расчета выходит за рамки нашей статьи. Читателю, интересующемуся численными методами, следует обратиться к современным учебникам по газовой динамике (см., например, [26], [29], [38] и [39]), в которых он может найти и перечень литературы по этим вопросам.

Наиболее сильные результаты, касающиеся вопроса о единственности решения, были получены Финном и

Джилбаргом. Используя асимптотическую формулу (45.7) и интегральные тождества, напоминающие формулу (23.1) для кинетической энергии, они доказали следующую теорему.

Плоское дозвуковое потенциальное обтекание гладкого профиля единственным образом определяется условиями на бесконечности и величиной циркуляции.

Плоское дозвуковое потенциальное обтекание профиля, имеющего острую заднюю кромку, единственным образом определяется условиям, и на бесконечности.

Эти результаты, как станет ясно из приведенного ниже анализа, играют большую роль в теории динамического подобия. Рассмотрим непрерывные дозвуковые обтекания двух геометрически подобных профилей потоками двух совершенных газов с одним и тем же показателем адиабаты. Предположим также, что числа Маха и величины относительных циркуляции для этих потоков совпадают (второе условие можно опустить, если профили имеют острую заднюю кромку). Тогда из сформулированной выше теоремы следует, что эти два течения являются динамически подобными.

С теоретической точки зрения интересно то обстоятельство, что величина для обтекания профиля с острой задней кромкой является монотонно возрастающей функцией от числа Маха на бесконечности. Коэффициент подъемной силы будет при этом возрастающей функцией от

Вопрос о существовании решения, несмотря на серьезные математические трудности, решен с достаточной полнотой в работах Ф. И. Франкля и М. В. Келдыша, Шифмана, Берса. Если для определенности считать, что задача формулируется для заданного уравнения Бернулли (45.1), заданного профиля и заданного направления скорости на бесконечности, то

основной результат можно сформулировать в следующем виде.

Для заданного гладкого профиля и заданного уравнения Бернулли в плоскости существует такая область, содержащая внутри себя начало координат, что для каждой точки этой области существует единственное дозвуковое обтекание с выбранними значениями При приближении точки к границе области максимум местного числа Маха соответствующего течения стремится к 1.

Для заданного профиля с острой задней кромкой найдется такое число что для каждого из интервала существует единственное дозвуковое обтекание профиля с выбранной величиной скорости на бесконечности. При максимум местного числа Маха стремится к 1.

Доказательства теорем существования типа только что сформулированной слишком сложны, чтобы их можно было здесь изложить. Мы ограничимся поэтому лишь беглым обзором методов, использованных в указанных выше работах.

В работе Франкля и Келдыша использовался некий итерационный процесс; существование при этом было доказано только для достаточно малых значений Доказательство Шиффмана основано на прямых методах вариационного исчисления; исходным пунктом является принцип Бейтмена — Кельвина. В его работе использован остроумный прием, который помогает установить существование течения, дающего минимум соответственному функционалу.

Доказательство Берса основано на методах теории функций (аналогично доказательству существования плоского течения несжимаемой жидкости); при этом привлекается, однако, целый арсенал глубоких результатов анализа. Кроме доказательства существования дозвуковых течений, Берс установил их непрерывную зависимость от от формы профиля и от вида функции, связывающей плотность и величину

скорости. Несмотря на чрезвычайную сложность математических методов, использованных в этих работах, последние как бы перекинули мост через пропасть, давно разделявшую математиков и аэродинамиков

Существование и единственность трехмерных дозвуковых течений рассматривались в недавно опубликованной работе Джилбарга и Финна. Полученные ими глубокие результаты полностью решают вопросы единственности и асимптотического поведения потенциала на бесконечности; существование дозвуковых течений доказывается при условии, что местное число Маха не превышает 0,53. Вопрос существования рассматривался также в работе Нэша; пользуясь установленной в этой работе замечательной теоремой, можно, по-видимому, получить результат даже более общий, чем в случае плоских течений.