40. Диффузия завихренности.

Основные кинематические уравнения, которым удовлетворяет распределение завихренности произвольного движения жидкости, были выведены в п. 17 и 25. Этими уравнениями являются уравнение Бельтрами

и уравнение Кельвина

Применив уравнения (40.1) и (40.2) к случаю неизэнтропического движения идеального газа, мы получим несколько важных результатов.

Нам удобно записать уравнения движения в виде

где удельный объем газа. Применив к обеим частям уравнения (40.3) оператор и воспользовавшись термодинамическим тождеством

мы получим

Найденное представление для а позволяет записать уравнение (40.1) в виде уравнения завихренности Важоньи:

При отсутствии второго члена в правой части этого уравнения из него следовали бы теоремы Гельмгольца. Этот член показывает, однако, что неоднородное поле энтропии вызывает диффузию завихренности и вследствие этого нарушается четкая картина переноса завихренности, устанавливаемая теоремами Гельмгольца.

Для установившегося течения с постоянной энергией в силу уравнения Крокко — Важоньи справедливо следующее соотношение:

Подставив полученное выражение для в уравнение (40.5), мы получим после некоторых упрощений уравнение

Для плоских течений из уравнения (40.6) следует, что на линиях тока

Этот результат был впервые получен Крокко для частного случая совершенного газа. Заметим, что для установившихся течений с постоянной энергией из равенства в некоторой точке области течения в силу уравнения (40.7) вытекает равенство вдоль всей линии тока, проходящей через

Непосредственные вычисления, в основе которых лежит уравнение Бельтрами, показывают, что для произвольной скалярной, векторной или тензорной функции справедливо следующее тождество:

Соотношение (40.8) является кинематическим эквивалентом интересной формулы для завихренности, найденной Эртелем. Если в качестве взять энтропию идеального газа,

то правая часть тождества (40.8) обратится в нуль и мы получим, что для фиксированной частицы жидкости

Этот результат был установлен Трусделлом; в работах, на которые мы только что ссылались, можно найти другие интересные следствия формулы (40.8).

Рис. 5. Геометрическая интерпретация теоремы Бьёркнеса о циркуляции.

Рассмотрим теперь следствия выведенного выше уравнения Кельвина (40.2). Воспользовавшись уравнением движения в форме (40.3), мы получим, что

последний интеграл, как легко видеть, дает площадь ограниченной образом кривой 6 области в плоскости (см. рис. 5). Таким образом,

где площадь указанной области плоскости Так как в случае баротропного течения образ кривой 6 представляет собой однозначную функцию отсюда следует, в частности, теорема Кельвина о циркуляции, установленная в п. 25. Другую интерпретацию величины можно получить, если натянуть на кривую (5 ориентированную поверхность и нанести на этой поверхности линии

Обращаясь снова к рис. 5, мы видим, что

Этот изящный результат носит название теоремы Бьёркнеса. Вместо ячеек можно было бы рассматривать ячейки так как в силу формулы (40.4)

Заметим в заключение, что нетрудно проверить справедливость теоремы Бьёркнеса и в том случае, когда в области течения допускаются слабые разрывы (см. п. 51).