26. Общие вопросы теории вихревых течений.

Общая теория вихревых течений достаточно полно изложена в монографиях Ламба [8] и Вилла [18]. Мы хотим здесь установить более естественным и ясным способом лишь некоторые основные результаты, изложение которых в цитированных книгах, как нам кажется, не совсем отвечает существу дела. В частности, мы рассмотрим задачу определения поля вектора скорости по его завихренности и дивергенции и некоторые связанные с этой задачей результаты, касающиеся распределения завихренности.

Согласно определению дивергенции О и завихренности со,

Легко показать, что для данного (кусочно непрерывного) распределения дивергенции и завихренности в

конечной области существует не более одного поля скоростей с заданной нормальной составляющей скорости на границе (см. [8], § 147). Единственность имеет место и для бесконечной области, если задан предел вектора скорости при Несколько труднее доказать существование поля скоростей с заданным распределением дивергенции и завихренности. Мы рассмотрим ниже три случая.

1. Конечная область; на границе. Предположим, что в конечной области I) функции и один раз дифференцируемы; Тогда искомое поле скоростей нетрудно построить при помощи потенциалов

где обозначает расстояние между точкой интегрирования х и точкой х, в которой определяются величины Рассмотрим поле

и заметим, что

Мы воспользовались здесь соотношением следующим из условия на границе области. Это соотношение выводится так:

изменение знака во втором равенстве обусловлено заменой дифференцирования по х дифференцированием по х. Так как поле имеет заданные завихренность и дивергенцию, искомое поле скоростей записывается в виде

где гармоническая функция выбрана так, чтобы нормальная составляющая скорости принимала на заданные значения. (Эти значения должны быть, конечно, согласованы с интегралом от дивергенции по области

Поле скоростей непрерывно во всем пространстве, имеет завихренность внутри и является безвихревым вне этой области, причем на бесконечности Условие на 8 означает просто, что вихревые линии являются замкнутыми кривыми, лежащими в области 0. Таким образом, поле представляет собой поле скоростей изолированной вихревой системы несжймаемой жидкости.

При заданном поле скоростей возникает естественный вопрос о существовании и единственности соответствующего движения жидкости, удовлетворяющего уравнениям Эйлера. Трудная задача о существовании исследовалась Лихтенштейном (см. [9], гл. 12; [25] гл. 11, 12), Гёльдером, Вольбинером, Шеффером и Маруном.

Единственность течения с заданным начальным полем скоростей можно установить на основании методов, которые будут описаны в п. 72. Различные частные случаи, в которых соответствующее: движение находится в конечном виде, рассматриваются в монографиях Ламба, Вилла, Лихтенштейна и Мили-Томсона.

2. Бесконечная область. Если предположить, что равны нулю вне некоторой ограниченной области, обращается на бесконечности в нуль, то соответствующей поле скоростей представляется в виде

где и — потенциалы (26.1), определенные во всем пространстве. Можно доказать справедливость этого представления в предположении, что в и при являются величинами порядка Наконец, если при убывают как то интегралы (26.1) для и расходятся, но остается справедливым представление поля скоростей через производные этих потенциалов:

3. Конечная область; общий случай. При попытке представить в этом случае поле скоростей в виде (26.2) мы сталкиваемся с той трудностью, что величина теперь не обязательно равна нулю. Но если на поверхности в известны значения скорости то можно показать, что

где

(см. [48], стр. 190). Заметим, что интегралы по поверхности определяют в области гармонические функции. Если на границе заданы только значения то интеграл по поверхности в формуле (26.5) вычислить нельзя и следует применить другой метод.

Расширим область определения со до всего пространства. Рассмотрим с этой целью в области, внешней по отношению к гармоническую (включая функцию удовлетворяющую на условию и положим в точках вне . Дивергенция определенного таким образом поля равна нулю, и имеет на бесконечности порядок Расширив теперь область интегрирования в формулах (26.1) до всего пространства, мы получим

В связи с полученными выше представлениями поля скоростей отметим некоторые интересные интегральные соотношения. Ламб приводит две формулы для определения кинетической энергии системы вихрей в несжимаемой жидкости. Предположим сначала, что жидкость покоится на бесконечности и что завихренность со равна нулю вне некоторой ограниченной области. Тогда

причем интегрирование каждый раз проводится по всей области, занятой системой вихрей. (Трусделл [27], § 35), обобщил эту формулу на случай конечной области и отличной от нуля дивергенции. Он получил следующий результат:

где через обозначены потенциалы простого слоя, фигурирующие в формулах (26.4) и (26.5). Вторая формула Ламба будет рассмотрена в п. 71.

В заключение мы хотим привести две формулы, справедливые для произвольного непрерывного движения. Первая из этих формул принадлежит Ламбу ([8], стр. 273):

а вторая — Трусделлу:

[Обе эти формулы легко проверить, воспользовавшись формулой (2.1) и тождествами (17.1) и (17.2).] В тех случаях, когда интегралы по поверхности равны нулю либо в силу условия на §, либо в силу соответствующей асимптотики на бесконечности, формулы (26.6) и (26.7) переходят в следующие простые соотношения:

Первое из этих соотношений показывает, что среднее значение равно нулю, а второе — что суммарная завихренность системы вихрей постоянна во времени.