65. Дополнение. Частные решения уравнений с нелинейной вязкостью.

Для того чтобы качественно оценить роль нелинейных членов в формуле (59.3), проще всего воспользоваться частными решениями уравнения движения. Мы рассмотрим здесь два простых примера движений несжимаемой жидкости; первый из них был тщательно изучен Ривлином. При этом будет выяснено основное различие между теориями линейной и нелинейной вязкости, а именно при учете нелинейных членов вязкости в слоистом течении могут существовать нормальные напряжения.

1. Прямолинейное слоистое течение. Предположим, что и где постоянная. Тогда в силу соотношения (59.3) тензор напряжений имеет вид

где

Из представления (65.1) следует, в частности, что удельное сопротивление является четной функцией скорости проскальзывания Так как в рассматриваемом течении ускорение равно нулю, динамические уравнения (6.7) записываются в виде

Если предположить теперь, что ( не зависят от температуры, то уравнения (65.2) имеют простое решение: и

Следовательно, для существования слоистого течения между двумя плоскими бесконечными пластинками, кроме силы, вызывающей проскальзывание, и давления, необходимо дополнительное напряжение, направленное по нормали к пластинкам и пропорциональное квадрату скорости проскальзывания. Этот несколько неожиданный результат носит название эффекта Пойнтинга.

Если в области течения температура не постоянна, то решение не удовлетворяет системе (65.2) и для эффективного построения решения нужно выбрать конкретную зависимость от давления и температуры.

2. Течение Пуазейля. Предположим, что в цилиндрической системе координат движение записывается в виде

причем В этом случае определяется формулой (см. п. 61)

где

Уравнения движения (12.3) с учетом формулы (12.9) записываются следующим образом:

Если коэффициенты не зависят от температуры и давления, то мы можем получить решение требуемого вида, положив

Действительно, подстановка этого выражения для в первое уравнение (65.3) приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению для профиля скоростей:

а затем из первого уравнения мы получим

Поток массы выражается при этом формулой

(При учете силы тяжести в формуле (65.4) коэффициент С надо заменить на

В частном случае квадратичной зависимости от коэффициенты постоянны (так как рассматривается течение несжимаемой жидкости). Полагая и интегрируя уравнение (65.5), мы приходим к классическим формулам для скорости

и потока массы

Заметим, что распределение давления по сечению трубы не будет при этом постоянным. Для более детального

исследования следствий этого результата мы предположим, что жидкость вытекает из трубки в воздух при давлении Тогда на выходное сечение с внешней стороны будет действовать сила Так как

то из условия равенства сил, действующих на выходное сечение снаружи и изнутри, получается следующее соотношение:

Таким образом, сила с которой жидкость действует на единичную площадку стенки, равна

Если ввести величину равную объему жидкости, протекающей за единицу времени через единицу площади поперечного сечения, то из формулы (65.8) следует, что

Подставив это выражение в выписанное выше уравнение, получим интересную формулу:

которая может служить теоретическим объяснением наблюдавшегося Меррингтоном расширения потока у выходного отверстия вискозиметра (рис. 16).

Рис. 16. Истечение жидкости из вискозиметра малого диаметра (по Меррингтону).

Действительно, в соответствии с формулой (65.9) разность давлений у выходного

отверстия положительна при так что обнаруженный Меррингтоном эффект легко объясняется влиянием положительной квадратичной добавки в формуле (59.3). Справедливость формулы (65.9) можно проверить экспериментально, определяя величину изменения вдоль трубки при различных значениях одновременно это дало бы надежно определенную величину коэффициента При выполнении такого эксперимента наибольший эффект должен наблюдаться, как можно заметить из формулы (65.9), при больших значениях потока массы и малых радиусах трубки, причем характер изменения не должен зависеть от длины трубки (Меррингтон действительно наблюдал увеличение показанного на рис. 16 расширения потока при росте напряжений и потока массы).

В работах Ривлина, на которые мы уже ссылались в начале этого пункта, было исследовано также течение Куэтта; это исследование здесь опущено. Джилбарг и Паолуччи рассмотрели решение типа ударного слоя для жидкости с нелинейной вязкостью.