51. Особые поверхности и звуковые волны.

Всюду выше в этой статье мы в основном имели дело с "непрерывными движениями", иначе говоря, считали, что поле скоростей дважды дифференцируемо. Рассмотрим теперь в области течения поверхность такую, - что сами параметры течения остаются непрерывными при переходе

ерез а некоторые производные от этих величин претерпевают при переходе через разрыв (предполагается, что как с той, так и с другой стороны от поверхности параметры течения непрерывно дифференцируемы и что их производные при подходе к стремятся к некоторым предельным значениям). Такая поверхность носит название особой поверхности первого порядка, или поверхности слабого разрыва, но для краткости мы будем называть такую поверхность просто особой поверхностью. Задача этого рункта состоит в выяснении природы слабых разрывов и законов их распространения в общем случае трехмерного неустановившегося движения. Легко видеть, что особая поверхность обязательно является характеристическим многообразием следовательно, можно изучать особые поверхности с этой точки зрения. Однако непосредственнре исследование вопроса о распространении слабых разрывов является, с одной стороны, более привлекательным, а другой стороны, быстрее и изящнее приводит к требуемым результатам.

Пусть поверхность X задана уравнением (предполагается, что Тогда вектор нормали и нормальная скорость распространения О этрй поверхности определяются формулами

Предположим теперь, что некоторый параметр ечения остается непрерывным при переходе через но по крайней мэре одна из компонент претерпевает на разрыв. Мы покажем, что в этом случае существует такая скалярная функция заданная на X, что

квадратные скобьи обозначают здесь скачок величины, записанной в скобках, при переходе через (т. е. разность ее предельных значений с разных сторон от . Для доказательства этого факта заметим, что для любого

направления лежащего на имеет место равенство

так как а следовательно, и производная от по направлениям, касательным к поверхности непрерывны при переходе через Иначе говоря, уравнение (51.2) выполняется для всех таких, что

Из этого следует сразу, что

Обозначив теперь общую величину вписанных отношений через мы приходим к требуемым соотношениям (51.1). В силу соотношений (51.1)

где представляет собой скорость распространения относительно частицы, находящейся в рассматриваемый момент времени на этой поверхности.

На поверхности по предположению, претерпевает разрыв производная по крайней мере от одного из параметров течения или Из предыдущих рассуждений следует, что найдутся заданные на множители а, ( и 8 (хотя бы один из которых отличен от нуля), такие, что

Из уравнений (35.1) — (35.4), справедливых обе стороны от поверхности мы находим теперь, что —

В этих соотношениях являются термодинамическими переменными. В дальнейшем при исследовании системы уравнений (51.3) удобно рассматривать отдельно случаи и

Особая поверхность, на которой называется звуковой волной, так как на такой поверхности претерпевает разрыв градиент давления. Относительная скорость распространения звуковой волны принимается, по определению, за скорость звука (величина конечно, меняется при переходе от одной точки к другой, так что более правильно называть местной скоростью звука). Докажем, что так определенная скорость звука совпадает по величине с Действительно, при в силу второго уравнения (51.3) ; обращаясь к третьему уравнению (51.3), мы видим, что Умножив правую часть второго уравнения (51.3) скалярно на и воспользовавшись четвертым, приходим к равенству

Наконец, исключение из этого уравнения при помощи первого уравнения (51.3) дает требуемое равенство:

Приведенное обоснование формулы для скорости звука принадлежит по существу Гюгонио. Это обоснование сравнительно просто, вполне строго с математической точки зрения и основано на четком определении, применимом к произвольному течению идеальной жидкости. Обоснование формулы для скорости звука, приведенное ранее в п. 35, удовлетворяет в лучшем случае только первому из этих требований. Следует заметить, однако, что использованный метод также не охватывает вопроса во всей его полноте, так как он применим только к движениям идеальной жидкости. Другой более общий подход к понятию скорости звука, в некотором смысле снимающий указанный недостаток, будет изложен в п. 57.

Установим некоторые дополнительные свойства звуковых волн. В силу равенства мы имеем

т. е. разность нормальной скорости в точке поверхности и скорости распространения равна по абсолютной величине скорости звука с. Это соотношение является обобщением результата, полученного ранее при исследовании характеристических многообразий установившегося течения. При переходе через поверхность звуковой волны мы имеем также таким образом, энтропия является непрерывно дифференцируемой функцией, и завихренность остается непрерывной при переходе через фронт звуковой волны. Аналогичным образом при помощи второго уравнения (51.3) проверяется непрерывность касательной составляющей ускорения:

Рассмотрим теперь особые поверхности, на которых Из второго уравнения (51.3) следует, что (в противном случае мы получили бы, что а так как это означает по теореме п. 8, что во все время движения поверхность составлена из одних и тех же частиц жидкости. При переходе через такие поверхности контактного разрыва первые производные от давления, дивергенция скорости и ускорение остаются непрерывными.

В случае несжимаемой жидкости система уравнений (51.3) заменяется первыми двумя уравнениями этой системы и дополнительным условием Умножив скалярно левую часть второго уравнения (51.3) на и сравнив полученное равенство с первым уравнением, мы получим из чего в свою очередь следует, что Таким образом, в случае течения несжимаемой жидкости особыми поверхностями могут быть только поверхности, перемещающиеся вместе с жидкостью.

Если особую поверхность рассматривать как фиксированное многообразие в четырехмерном пространстве то условие (51.6) можно сформулировать в виде следующего геометрического критерия: в каждой точке звуковой

волны фронт, волны касается конуса

по характеристической линии

В этой формулировке предполагается, что начало координат помещено в точку Формулы (51.7) и (51.8) допускают простую интерпретацию в терминах распространения звуковой волны в пространстве (принцип Гюйгенса). Аналогичным образом в каждой точке поверхности контактного разрыва эта поверхность касается линии

Как было отмечено выше, каждая особая поверхность является характеристическим многообразием. Обратное конечно, неверно, однако в любом случае на характеристическом многообразии должны удовлетворяться геометрические условия, определяющие особые поверхности. Предыдущий анализ показывает, что в произвольном течении сжимаемой жидкости существуют два типа характеристических многообразий: многообразия первого типа — звуковые волны — касаются конусов (51.7), многообразия второго типа — поверхности контактного разрыва — касаются линий (51.9); различия между многообразиями первого и второго типа указаны в табл. 3.

Таблица 3 (см. скан) Основные различия между двумя типами особых поверхностей первого порядка

Точнее, многообразие 2 является характеристическим в том и только в том случае, когда в каждой точке это многообразие касается либо конуса (51.7), либо линии (51.9). Этот результат можно получить также непосредственно из определения характеристического многообразия. Нужно заметить, что некоторые

вопросы теории характеристических многообразий в настоящее время еще не разработаны. Теория бихарактеристик исследована лишь в общих чертах, не найдено уравнение, описывающее распространение разрывов вдоль характеристических линий.