§ 3. Преобразование координат

12. Уравнения движения в криволинейных координатах.

Мы хотим получить здесь уравнения неразрывности и движения в произвольной криволинейной системе координат. Для этой цели удобно воспользоваться методами элементарного тензорного анализа; читатель, незнакомый с тензорным анализом, может обратиться к работе [47], где дано ясное изложение этого предмета, или может пропустить весь этот раздел без значительного ущерба для понимания остальной части статьи. Обозначим через координаты точки в произвольной криволинейной системе координат. Мы, как и раньше, положим однако х здесь нельзя рассматривать как вектор. Движение по-прежнему выражается уравнениями в форме (3.1), которые дают нам положение частицы в момент в цилиндрической системе координат, например, движение задается при помощи уравнений

Ясно, что производные от функций (3.1) являются контравариантными компонентами вектора, так что определение вектора скорости сохраняет смысл. Для определения материальной производной от произвольной скалярной, векторной или тензорной функции мы воспользуемся формулой

где символ обозначает ковариантную производную от по переменной х. Нетрудно проверить, что так определенная материальная производная является тензором и что данное определение согласуется с введенным ранее определением (3.6). Следует отметить, что величина в общем случае уже не является тензором, и, следовательно, определение, введенное в п. 3, в общем случае неприменимо. Для того чтобы получить корректную формулу для материальной производной в переменных Лагранжа, можно

поступить следующим образом. Запишем ковариантную производную в виде

где хорошо известные выражения, включающие в себя символы Кристоффеля. Подставив это выражение в формулу (12.1), мы получим требуемую формулу:

Формула (12.1) встречается также в дифференциальной геометрии в теории параллельного переноса и ясно показывает различие между Заметим, что в прямоугольной системе координат оба этих определения совпадают, другими словами, точно так же как обобщение обычной производной приводит к понятию ковариантной производной, обобщение понятия материальной производной приводит к операции Заметим, наконец, что при использовании понятия материальной производной удобнее исходить из формулы (12.1), а не (12.1). Ниже мы будем пользоваться векторными обозначениями; определения п. 2 переносятся при этом на случай произвольной криволинейной системы координат очевидным образом. Например, символ будет теперь обозначать упорядоченную тройку ковариантных или контра-вариантных (в зависимости от ситуации) компонент вектора скорости, а формула (12.1) запишется в виде

Приняв такое соглашение, мы можем записать уравнение неразрывности в любой из двух инвариантных форм:

где дивергенция, как и обычно в тензорном анализе, означает

Тензор деформации мы определим через его компоненты в некоторой прямоугольной системе координат. Тогда соотношение между вектором напряжений и нормалью к

поверхности будет справедливым даже в том случае, когда компоненты не совпадают с величинами сил, действующих на элементы поверхности. Отметим, наконец, инвариантность уравнения движения, записанного в следующем виде:

где

Рассмотрим подробнее случай ортогональной системы координат. В таких системах квадрат элемента дуги выражается формулой

Уравнение неразрывности в рассматриваемом случае упрощается и принимает вид

С целью преобразования уравнения (12.3) заметим сначала, что

[см. формулу (17.1)]; следовательно, ускорение легко выражается через Учитывая равенство вектор можно представить в виде

Преобразовать член более затруднительно в силу сложности формул (12.4). Символы Кристоффеля, соответствующие метрике (12.5), выражаются следующим образом:

все остальные величины . (Суммирование по индексам в этой формуле не производится.) Непосредственные вычисления показывают, что

(суммирование по В случае идеальной жидкости необходимость в этой формуле отпадает. Заметим также, что в случае вязкой жидкости, удовлетворяющей закону Коши — Пуассона как правило, проще вывести уравнения движения, не обращаясь к формуле (12.9).

Можно указать другую формулу для определения ускорения, а именно

Вывод этой формулы аналогичен выводу формулы (12.9).

На практике часто бывает удобно рассматривать вместо ковариантных или контравариантных компонент вектора его физические компоненты Физические компоненты вектора определяются равенствами

(по i не суммировать) и представляют собой величины проекций на соответствующие координатные линии, проходящие через точку приложения вектора. Аналогичным образом определяют физические компоненты тензора, однако на этом мы останавливаться не будем.

Пример. Цилиндрическая система координат. В этом случае мы имеем

Если обозначить через соответствующие физические компоненты скорости, то уравнение неразрывности примет вид

Физические компоненты ускорения в уравнении движения в силу соотношения (12.7) или (12.10) выражаются формулами 2

Физические компоненты приведены в работе Лява, однако нам они не понадобятся. Наконец, компоненты вектора завихренности определяются из соотношений