27. Мера завихренности.

Трусделл заметил, что величина мгновенной угловой скорости далеко не всегда правильно определяет роль, которую играет вращение в движении жидкости. Недостатком этой характеристики является также зависимость величины от выбранной системы единиц измерения. Трусделл привел убедительные доводы в пользу

того, что за меру завихренности следует взять безразмерный инвариант

Для безвихревого движения, не совпадающего с движением жидкости как твердого тела, следовательно, . В случае, когда жидкость вращается как твердое тело, Таким образом, определение (27.1) ставит в соответствие любому движению жидкости (за исключением поступательного движения жидкости как твердого тела) численную меру завихренности со шкалой от до со, причем максимальную завихренность имеет вращение жидкости как твердого тела.

Проиллюстрируем понятие меры завихренности вычислением величины 28 для некоторых общеизвестных движений.

1. Обобщенное течение Пуазейля. Поле скоростей этого течения в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид

Формулы (27.2) включают в себя как течение чистого сдвига так и ламинарное течение вязкой жидкости в трубке с постоянным поперечным сечением. Легко проверить, что для таких течений

2. Движение с постоянной завихренностью. Рассмотрим плоское течение несжимаемой жидкости с постоянной завихренностью Функция тока этого течения удовлетворяет уравнению

и условию на неподвижных границах. Если жидкость находится в сосуде с неподвижными стенками, то легко видеть, что

Следовательно, не зависит от завихренности движения и определяется только формой сосуда Для эллиптического сосуда с полуосями мы получаем, в частности,

3. Волны Герстнера. Рассмотрим теперь интересный пример волновых движений, полученный Герстнером, и попытаемся оценить в этом случае относительную роль вращательного движения, пользуясь понятием меры завихренности. Заметим, что рассматриваемое движение имеет практический интерес только в том случае, когда величина не слишком велика.

В примере Герстнера движение задается в переменных Лагранжа (3.1) следующими уравнениями:

здесь А и с — некоторые положительные постоянные. Хотя величины действительно фиксируют начальное положение частицы, они не являются переменными Лагранжа в точном значении этого слова, так как при частица не находится в точке с координатами Мы рассмотрим движение тех частиц, для которых Легко видеть, что якобиан преобразования не меняет знака при

и, следовательно, движение, определяемое уравнениями (27.3), является допустимым. Свободная поверхность (и вообще любая поверхность представляет собой трохоиду с длиной волны движущуюся со скоростью с в отрицательном направлении оси х.

Так как

формулы (27.3) определяют движение несжимаемой жидкости. Интегрирование уравнений движения (6.10) в переменных Лагранжа при предположении приводит к уравнению Бернулли следующего вида:

Из уравнения (27.4) видно, что для выполнения условия на свободной поверхности нужно потребовать, чтобы

Это условие приводит к более простому виду уравнения Бернулли, а именно к уравнению

Заметим в заключение, что произведенное интегрирование уравнений движения (6.10) служит одновременно доказательством возможности волновых движений Герстнера в поле сил тяжести.

Для вычисления величины нужно определить компоненты Мы имеем

где следовательно,

Аналогичным образом находим производные

Подставив эти выражения в соотношение (27.1), мы получим замечательную по своей простоте формулу для меры завихренности на "глубине"

Легко видеть отсюда, что величина достигает максимума на свободной поверхности и экспоненциально убывает при увеличении глубины. Если мы хотим, чтобы величина не превосходила, например 10%, то нужно потребовать, чтобы на свободной поверхности выполнялось условие

Таким образом, волны Герстнера представляют собой сильно завихренное движение, за исключением случая волн малой

амплитуды; на самом деле амплитуда должна быть настолько малой, что становится применимой линеаризированная теория поверхностных волн.