§ 3. Несжимаемые вязкие жидкости

Далее мы будем рассматривать несжимаемые вязкие жидкости с линейной зависимостью напряжений от деформаций

и будем предполагать, что коэффициент вязкости постоянен, так как в противном случае возникают значительные математические трудности. Это предположение хорошо согласуется с экспериментальными данными по крайней мере в тех случаях, когда изменение температуры в области течения не очень велико. Будем предполагать также, что поле внешних сил потенциально, т. е. что

Теория сжимаемых вязких жидкостей не получила особого развития, за исключением акустического приближения и теории пограничного слоя (см. т. XI и VIII данной Энциклопедии), и поэтому здесь излагаться не будет.

Следует упомянуть, однако, некоторые известные точные решения, в особенности решение типа ударного слоя (см. п. 57),

простые примеры слоистых течений Иллингворта и исследование задачи Рэлея, приведенное в работе Хоуарта.

68. Уравнения движения.

Уравнениями движения несжимаемой вязкой жидкости являются уравнение неразрывности

и уравнение Навье — Стокса

Так как в силу уравнения неразрывности мы имеем

то, учитывая тождество (17.1), мы можем записать уравнение Навье — Стокса в следующем виде:

где . В дальнейшем нам придется не раз обращаться к уравнению энергии (9.1). При сделанных предположениях нетрудно заметить, что где функция диссипации, введенная в п. 61. Следовательно, уравнение энергии в случае несжимаемой вязкой жидкости можно записать так:

физическая интерпретация различных членов этого уравнения очевидна. Далее, уравнение (63.3) для температуры в случае вязкой несжимаемой жидкости имеет следующий вид:

здесь предполагается, что их постоянны. Так как температура не входит в уравнения (68.1) и (68.2) (предполагается все время, что постоянно), уравнение (68.6) может

понадобиться только для определения распределения температуры в жидкости. Вопрос о распределении температуры почти не освещен в литературе, за исключением технических приложений, и мы не будем затрагивать его в этой статье.

Запись приведенных выше уравнений в системе криволинейных координат не представляет труда, если воспользоваться общими методами, указанными в п. 61.