8. Граничные условия.

Если поверхность в движущейся жидкости состоит все время из одних и тех же частиц, то ясно, что она играет роль поверхности раздела, отделяющей жидкость, заключенную внутри от жидкости вне этой поверхности. Обратное предложение о том, что каждая поверхность раздела состоит все время из одних и тех же частиц, менее очевидно.

Предположим, что жидкость находится в непрерывном движении, удовлетворяющем условиям, сформулированным в п. 3, и что поверхность ограничивает некоторый объем жидкости. Тогда функция должна удовлетворять следующему условию:

Условие (8.1) было впервые сформулировано Кельвином. Это условие означает, что поверхность все время состоит из одних и тех же частиц (Лагранж).

Доказательство. Нормальная скорость движущейся поверхности выражается известной формулой

По предположению поверхность является поверхностью раздела. Легко видеть, что для такой поверхности должно выполняться условие

Отсюда сразу следует равенство (8.1). Покажем теперь, что при выполнении условия (8.1) поверхность состоит все время из одних и тех же частиц. Положим

и рассмотрим поверхность в пространстве переменных Эта поверхность является геометрическим местом точек, в которых первоначально находились частицы, составляющие в момент поверхность Из условия (8.1) следует, что

Таким образом, нормальная скорость распространения поверхности равна нулю и, следовательно, в пространстве переменных X эта поверхность покоится. Это в свою очередь означает, что поверхность состоит все время из одних и тех же частиц.

На неподвижных частях границы выполняется очевидное условие