63. Теплопроводность.

Для того чтобы система уравнений классической механики жидкости была полной, необходимо выразить вектор потока тепла через механические и термодинамические переменные. Мы будем исходить из обычного предположения, что является изотропной функцией от градиента температуры и термодинамических переменных. Возможны, конечно, и более сложные ситуации, в которых процессы теплопроводности вызываются деформациями (и наоборот). Однако во всех рассмотренных до настоящего времени случаях принятое нами предположение не нуждалось в уточнении.

Из условия изотропности, как нетрудно видеть, вытекает, что векторы и должны быть параллельны, откуда следует закон Ньютона — Фурье

где скалярная функция и термодинамических переменных. Термодинамическое условие (34.4) включает в себя требование, чтобы множитель х был неотрицателен. Вид функции х выбирается в зависимости от характера рассматриваемой задачи на основе эксперимента и кинетической теории. Чаще всего пользуются формулой (см. [34], гл. 13)

которая совместима с принимаемым обычно предположением, что величины постоянны. Необходимым условием справедливости формулы (63.2) является независимость х от Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями величина отношения (63.2) выбирается следующим образом:

соответственно в случаях одноатомных газов, двухатомных газов и воздуха. Величина носит название числа Прандтля; впоследствии мы встретимся с этой величиной при исследовании вопроса о динамическом подобии течений теплопроводной жидкости.

Подставив выражение (63.1) в уравнение энергии (34.3), мы получим

Это уравнение вместе с уравнениями Навье — Стокса, уравнением неразрывности и термодинамическими уравнениями состояния образует систему уравнений, на которой основана классическая гидродинамика. Так как плодотворное исследование этой системы в ее общем виде едва ли возможно, точнее было бы сказать, что классическая гидродинамика имеет дело с различными частными случаями указанной системы.