§ 2. Безвихревое движение

21. Условия потенциальности движения.

Основываясь на уравнениях Бернулли (18.3) и (18.4), легко показать, что уравнения движения жидкости значительно упрощаются, если предположить, что движение безвихревое. Обычно для обоснования этого предположения пользуются теоремой Коши — Лагранжа которая утверждает, что баротропное движение идеальной жидкости является безвихревым, если каждая частица жидкости первоначально

находилась в состоянии покоя. Это утверждение не означает, что каждое баротропное движение жидкости является безвихревым, так как, оставляя в стороне философский вопрос о том, будет ли каждая частица покоиться в некоторый момент времени, завихренность может возникнуть в конкретной задаче, например под воздействием внешнего механизма вязкости или ударных волн. Тем не менее сформулированная выше теорема свидетельствует о том, что исследование безвихревого движения является весьма важным разделом теории идеальной жидкости.

В этой связи представляется интересным родственный результат, который во многих случаях гарантирует потенциальность течения. Обычно этот результат формулируется следующим образом: течение, возникшее из состояния покоя или равномерного движения, является безвихревым. Сформулированное утверждение на первый взгляд не вызывает сомнений, однако в том случае, когда движение жидкости равномерно на бесконечности, оно нуждается в тщательной проверке. Пусть при величины стремятся к некоторым пределам, причем В случае плоского и осесимметричного течения мы из теоремы 3 п. 17 действительно получаем, что Иначе обстоит дело в случае трехмерного течения; здесь этот результат можно получить только в случае установившегося движения. Доказательство проводится следующим образом. Согласно теореме Бернулли на линиях тока выполняется равенство

причем в силу условий на бесконечности постоянная имеет одно и то же значение для всех линий тока. Воспользовавшись теперь уравнением (18.1), мы получаем, что т. е. что найдется такая скалярная функция что

Из формулы (21.1) в свою очередь следует, что

Последнее соотношение представляет собой не что иное, как условие постоянства на линии тока. Таким образом, на линиях тока

Если то для всех линий тока постоянная равна нулю и, следовательно, В противном случае, если (жидкость в бесконечности находится в состоянии покоя), мы будем вынуждены удовлетвориться более скромным результатом (21.2).

Подводя итог рассуждениям, проведенным в предыдущих пунктах, мы можем сформулировать следующее утверждение: баротропное течение идеальной жидкости в консервативном поле внешних сил является безвихревым, если каждая частица первоначально находилась в области покоя или равномерного движения. Кроме того, плоское течение, осесимметричное течение, а также установившееся трехмерное течение при является безвихревым, если течение на бесконечности является равномерным.