60. Полиномиальная зависимость.

В предыдущем пункте было установлено, что наиболее общий вид зависимости напряжений от деформаций, согласующийся с постулатами Стокса, дается формулой (59.10) или формулой (59.11). Входящие в эти формулы коэффициенты а, представляют собой произвольные функции главных инвариантов матрицы и термодинамических переменных. Для того чтобы можно было получить результаты, представляющие интерес для гидродинамики, указанную зависимость следует конкретизировать; в противном случае при исследовании любых задач, кроме наиболее элементарных, возникли бы непреодолимые трудности. Практически универсальным является выбор полиномиальной зависимости от

Наиболее важный и наиболее часто встречающийся случай линейной зависимости от был уже разобран в п. 59. Следующим по важности является случай квадратичной зависимости от Так как инварианты 0, II и III являются функциями первого, второго и третьего порядка соответственно от компонент то квадратичную зависимость можно получить просто, конкретизируя формулы (59.10) и (59.11) следующим образом:

Аналогичным образом можно записать и зависимости более высокого порядка. При этом возникает вопрос, являются ли представления (60.1) и их аналоги более высокого порядка наиболее общими представлениями. Мы покажем сейчас, что справедлива следующая основная теорема:

Наиболее общее определяющее уравнение, удовлетворяющее сформулированным выше постулатам Стокса и такое, что компоненты тензора напряжений

являются полиномами степени от компонент тензора деформаций имеет вид

где представляют собой многочлены от главных инвариантов причем вес многочлена не превышает В случае сжимаемой жидкости многочлен должен иметь свободный член, равный нулю, в случае несжимаемой жидкости

Доказательство. Достаточно показать, что коэффициент а, входящий в формулу (59.10), имеет вид многочлена вид коэффициентов устанавливается вполне аналогично. Заметим сначала, что в принятых нами предположениях функции в формуле (59.6) должны иметь вид многочленов степени не выше (ортогональное преобразование не может изменить характера полиномиальной зависимости). Следовательно, определитель, стоящий в числителе формулы (59.8) для коэффициента является по переменным многочленом степени не выше Так как этот определитель обращается в нуль при вытекает, что а также при мы видим после сокращения на что является многочленом по переменным степени не выше

Но, как было показано выше, является симметричной функцией поэтому в силу известной теоремы алгебры

а имеет вид многочлена веса не выше от главных инвариантов В соответствии с постулатом 4 свободный член этого многочлена должен быть равен следовательно, является многочленом без свободного члена, что и требовалось доказать.

На основе методов теории размерностей Трусделл нашел характер зависимости коэффициентов многочленов от термодинамических переменных.

61. Классическая гидродинамика. Уравнения Навье-Стокса. Так как тензор деформации, вообще говоря, очень мал по сравнению, скажем, с величиной отношения характерной скорости и характерной длины, естественно принять гипотезу о линейности соотношения между Следует подчеркнуть гипотетический характер этого предположения: его нельзя ни вывести из эксперимента, ни строго обосновать. Согласование результатов, полученных на основе принятой гипотезы, с экспериментом является, конечно, доводом в пользу применения гипотезы и нашей веры в ее справедливость, но не более того.

Применяя результат, приведенный в конце п. 59, мы получаем из гипотезы о линейной зависимости классические определяющие уравнения:

В случае сжимаемой жидкости термодинамическое давление, — скалярные функции термодиначеских переменных. В случае несжимаемой жидкости является одной из основных динамических переменных, а зависит только от температуры.

Важный вопрос о характере зависимости коэффициентов вязкости от термодинамических переменных детально

исследован в книге Чепмена и Каулинга [34], гл. 9—12. Принципиальная сторона схемы рассуждений кинетической теории, приводящих к соотношению Тбыла рассмотрена Трусделлом; им же было проведено исследование вопроса с точки зрения теории размерности. Указанные исследования и экспериментальные данные показывают, что в довольно широком диапазоне коэффициенты вязкости практически не зависят от давления и формула дает хорошее приближение.

К этому вопросу мы еще вернемся в следующем пункте.

Функция диссипации, соответствующая закону Коши — Пуассона (61.1), имеет вид

Условие выведенное в п. 34, накладывает некоторые ограничения на величины В случае несжимаемой жидкости, в частности, из этого условия следует, что Для сжимаемой жидкости, как показывают непосредственные вычисления, имеет место соотношение

следовательно, условие для любого выполняется в том и только в том случае, когда

Величина входит также в формулу для разности между давлением и средним давлением в сжимаемой жидкости:

Уравнения Навъе — Стокса. Уравнения динамики, которые получаются из основных уравнений (6.7) при помощи

закона Коши — Пуассона, носят название уравнений Навье — Стокса. Между случаем сжимаемой и несжимаемой жидкости имеется некоторое различие, а именно

для сжимаемой жидкости

для несжимаемой жидкости

Формально уравнение (61.5) получается из уравнения (61.4), если положить Это не означает, однако, что уравнение (61.5) является частным случаем уравнения (61.4), так как понятие давления имеет существенно различный смысл в случаях сжимаемой и несжимаемой жидкости. При постоянных X и [а уравнения (61.4) и (61.5) принимают более простой вид и записываются так:

для сжимаемой жидкости

для несжимаемой жидкости

Для того чтобы иметь возможность записать уравнения Навье — Стокса в произвольной ортогональной системе координат, нам нужно найти соответствующие формулы для ускорения, для и для Формулы для были получены ранее (см. п. 12), а формулы для лапласиана проще всего найти, воспользовавшись тождеством

член удобно оставлять даже в случае несжимаемой жидкости, так как при этом происходит сокращение некоторого числа членов разложения Компоненты тензора напряжений (61.1) в общей криволинейной системе координат определяются формулами

где

В частном случае цилиндрической системы координат выражения для и приведены в п. 12. Пользуясь методом, развитым в п. 11, можно получить следующие выражения;

и

Наконец, обозначив через физические компоненты тензора напряжений, мы получим

Уравнения (61.6) и (61.7) в сферической системе координат рассмотрены подробно в книге [36], § 39—41.