74. Вариационные методы, связанные с вопросами устойчивости.

В предыдущем пункте были найдены критерии устойчивости по отношению к "произвольному" возмущению и, хотя на самом деле далеко не все векторные поля и являются допустимыми. Для более полного исследования вопросов устойчивости рассмотрим задачу о максимуме правой части уравнения (72.1) при дополнительном условии После надлежащей нормировки мы приходим к следующей вариационной задаче для исследования устойчивости:

минимизировать интеграл

при дополнительных условиях

Если обозначить минимум интеграла (74.1) через то при величина, стоящая в правой части уравнения (72.1), будет отрицательна для всех "гидродинамически допустимых" возмущений и, следовательно, основное течение будет устойчивым (в среднем).

Вариационную задачу (74.1), (74.2) при помощи хорошо известных методов можно сформулировать в виде уравнения в частных производных для экстремальной функции и. Введем с этой целью множители Лагранжа и запишем формально

Уравнению в вариациях (74.3) соответствует система дифференциальных уравнений

с граничным условием на Вообще говоря, система однородных уравнений (74.4) допускает нетривиальные решения только для ограниченного множества собственных чисел Если обозначает наибольшее из этих собственных чисел, то обычные методы вариационного исчисления приводят к неравенству

справедливому для всех удовлетворяющих условиям (74.2). Таким образом (формально) доказан следующий результат.

Пусть наибольшее собственное число однородной краевой задачи для системы (74.4) в области 23. Тогда основное течение в области 23 является устойчивым, если

Заметим, что между уравнениями (74.4) и уравнениями гидродинамики существует примечательная аналогия.

К сожалению, исследование уравнений (74.4) представляет не простую задачу даже в случае элементарных течений. Для плоских слоистых течений уравнения, аналогичные системе (74.4), были найдены в работах Орра и Гамеля. В этом случае имеет только две ненулевые компоненты а двумерность возмущений позволяет ввести функцию тока В этом случае система (74.4) сводится к уравнению Орра — Гамеля:

Это уравнение четвертого порядка было детально изучено Орром. Как и следовало ожидать, численные оценки дают грубое приближение границ устойчивости, хотя качественная сторона отражается, конечно, правильно. В частности, для распределения в канале нашел, что критическое число Рейнольдса

Линь [22] высказал предположение, что рассматриваемое течение должно быть устойчивым независимо от величины числа Рейнольдса. Кажущееся противоречие между результатами Орра и Линя становится понятным, если вспомнить, что Линь рассматривал только бесконечно малые возмущения; вполне возможно, что бесконечно малые возмущения гасятся даже тогда, когда конечные возмущения приводят к неустойчивости. Ясно, что найденное Орром критическое значение числа Рейнольдса относится именно к этим конечным возмущениям. С дальнейшими приложениями теории Орра читатель может ознакомиться в книге [2], стр. 335—336, 377.

Аналогичным образом можно провести исследование устойчивости течения между двумя вращающимися цилиндрами (течение Куэтта). Если внутренний и наружный цилиндры имеют радиусы и вращаются с угловыми скоростями соответственно, то поле скоростей течения Куэтта имеет вид

где

причем

Так как зависит только от коэффициента А, мы видим, что решение системы (74.4) должно давать критерий устойчивости в виде оценки сверху величины Точнее, можно доказать, что абсолютная устойчивость (устойчивость по отношению к любым возмущениям) будет иметь место при выполнении условия

Вопрос о точном определении вида функции остается в настоящее время невыясненным.

Что касается устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям, то, как показал Синг, устойчивость

течений Куэтта имеет место по крайней мере для т. е. для Расположение зоны устойчивости (74.5) и найденной Сингом зоны в плоскости показано на рис. 17, а.

Рис. 17. (см. скан) Зоны устойчивости для течения Куэтта. а — зона абсолютной устойчивости для течения Куэтта, б - зоны устойчивости для течения Куэтта при

Для случая применима теория Тэйлора зона устойчивости, соответствующая радиусам изображена на рис. 17,б. При построении зоны абсолютной устойчивости на этом рисунке мы исходили из приближенного значения найденного вычислениями.