§ 2. Энергия, энтропия и завихренность

В оставшейся части этой главы поле внешних сил предполагается равным нулю. До тех пор пока мы имеем дело с газообразной средой, это предположение не является существенным ограничением общности.

37. Уравнение Бернулли.

Течение газа называется из энтропическим, если энтропия постоянна во всей области течения. Уравнение (35.3) в этом случае обращается в тождество, а уравнение состояния (35.4) принимает простую форму

Следовательно, мы имеем дело со случаем баротропного течения, уже изучавшимся нами в гл. 111. В частности, перефразируя результат, установленный в этой главе, мы видим, что для изэнтропического установившегося безвихревого течения идеального газа при отсутствии внешних сил справедлива следующая теорема Бернулли:

в качестве нижнего предела интегрирования в этой формуле обычно выбирают значение Как будет выяснено ниже, интеграл в формуле (37.2) дает нам величину удельной энтальпии. Уравнение (37.2) можно записать также в дифференциальной форме:

или, воспользовавшись формулой (35.6) для скорости звука, в виде

В случае совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями интеграл вычисляется в явном виде и

уравнение (37.2) принимает вид

Мы не будем касаться хорошо известных алгебраических следствий этого соотношения и рассмотрим непосредственно общее уравнение (37.2). При этом удобно ввести следующее термодинамическое предположение:

Геометрически неравенства (37.6) и (30.7) означают, что в плоскости адиабаты представляют собой выпуклые кривые с отрицательным углом наклона касательной. Здесь мы будем использовать не неравенство (37.6), а его следствие:

В силу определения величины уравнения (37.4) и формулы (37.7)

Очевидно, что при таким образом, для фиксированного уравнения состояния существует только одно значение скорости при котором При течение называется дозвуковым при сверхзвуковым величина носит название критической скорости.

Заметим, что характер изменения величины потока массы существенно меняется при переходе через критическое значение скорости Действительно, в силу уравнения (37.4)

следовательно, при величина возрастает при увеличении скорости, а при убывает. Мы видим отсюда, что при заданной величине потока массы возможны два различных режима течения: дозвуковой и сверхзвуковой.

Описанный характер изменения потока массы помогает понять многие явления газовой динамики, связанные с переходом через максимальное значение потока массы. В качестве иллюстрации установленных закономерностей может служить рис. 4, на котором показана зависимость от для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями.

Рис. 4. Зависимость потока массы от числа Маха для установившегося изэнтропического течения.

Зависимость плотности от числа Маха очень просто получить при помощи формулы

которая вытекает непосредственно из уравнений (37.4) и (37.8). Разделив переменные и выполнив интегрирование, мы получим равенство

так что для произвольного газа

Это соотношение показывает, как медленно изменяется плотность в зависимости от числа Маха при малых значениях

В табл. 1 указаны значения как функции от в случае совершенного газа. Последняя величина при малых числах Маха почти не меняется.

Таблица 1 (см. скан) Переменные состояния для установившегося изэнтропнческого течения совершенного газа