73. Устойчивость течений вязкой жидкости.

С проблемой единственности тесно связаны более сложные вопросы гидродинамической устойчивости. Рассмотрим движение жидкости, заполняющей объем 23, с заданным распределением скорости на границе этого объема. В большинстве задач указанного типа область 33 ограничена твердыми стенками и граничные условия определяются движением этих стенок (например, течение Куэтта). Предположим теперь, что рассматриваемое поле скоростей получает в начальный момент малые возмущения. Естественно поставить вопрос

о характере последующего движения при неизменных граничных условиях: будет ли это движение мало отличаться от невозмущенного или даже малые возмущения начальных данных существенно меняют характер течения.

Есть два различных метода исследования этой задачи: первый включает в себя стандартную процедуру линеаризации, второй основан на формуле (72.1). Мы имеем возможность рассмотреть только второй из этих методов. При использовании этого метода задача сводится к доказательству того, что стремится к нулю, так как отсюда сразу следует, что и стремится к нулю почти всюду.

Сказанное нуждается в некотором пояснении. Пусть поле скоростей основного течения, поде скоростей возмущенного течения. Тогда основное течение называется устойчивым (устойчивым в среднем), если энергия возмущения стремится к нулю при возрастании

Поведение энергии возмущения при определяется знаком величины, стоящей в правой части формулы (72.1); если эта величина отрицательна для произвольного поля и, удовлетворяющего условию то имеет место устойчивость. Так как первый член правой части уравнения (72.1) "всегда отрицателен, то любое возмущение имеет тенденцию сгладиться за счет вязкости, однако при больших величинах касательных напряжений в основном потоке знак правой части (72.1) может измениться за счет положительного второго члена и амплитуда возмущений будет при этом возрастать. Таким образом, устойчивость течения определяется относительной величиной этих двух членов.

Другой критерий аналогичного характера можно получить, записав уравнение (72.1) в несколько измененной форме. Так как мы имеем

Применив теорему Гаусса — Остроградского, мы вместо формулы (72.1) получим равенство

Следовательно, если первый член подинтегрального выражения в правой части равенства (73.1) по абсолютной величине меньше второго члена для всех допустимых функций и, то основное течение с полем скоростей является устойчивым. Так как в первый член в качестве сомножителя входит мы приходим к выводу, что большие величины скорости основного течения и большие напряжения могут вызвать неустойчивость. Ниже на основе указанных соображений будут получены численные оценки границ устойчивости.

Следует заметить, что метод энергетических оценок принципиально не может дать точных значений границ устойчивости (для получения точных оценок следует обратиться к линеаризированным уравнениям), так как в этом методе знак величины, стоящей в правой части уравнения (72.1) или (73.1), устанавливается для полей и произвольного вида, которые могут и не быть динамически возможными. Однако, несмотря на это, исследование уравнений (72.1) и (73.1) приводит к ряду интересных и ценных результатов.

Пусть область имеет конечный диаметр Тогда кинетическая энергия произвольного возмущения удовлетворяет двум следующим неравенствам:

и

где — начальная энергия возмущения, нижняя грань характеристических чисел тензора деформаций для основного течения на интервале времени от до максимум модуля скорости основного течения на том же интервале времени. Если или если при всех значениях то при и основное течение является устойчивым.

Доказательство. Заметим сначала, что для любого непрерывно дифференцируемого поля вектора

Принимая во внимание граничное условие на где граница области , мы получаем отсюда

Рассмотрим теперь поле вектора непрерывно дифференцируемое внутри шара радиуса Полагая и фиксируя надлежащим образом начало координат в области 23, мы можем подставить это значение в формулу (73.4). Тогда после несложных преобразований мы приходим к неравенству

Сравнивая соотношения (72.1), (72.2) и (73.5), получаем неравенство

интегрирование которого приводит к требуемой оценке (73.2).

Доказательство оценки (73.3) проводится аналогичным образом. Исходным пунктом является неравенство, справедливое для произвольной диады А:

Из этого неравенства следует, что

Положив использовав полученное неравенство для того, чтобы найти оценку сверху для величины входящей в уравнение (73.1), мы приходим к соотношению

интегрирование которого дает оценку (73.3).

Кроме довольно грубых численных оценок границ устойчивости, из неравенств (73.2) и (73.3) следует ряд интересных результатов качественного характера. Например, возмущения достаточно малой длины волны затухают независимо от характера основного течения. Иначе говоря, даже в турбулентном движении не могут существовать "вихри" малого диаметра; макроскопически течение может представляться запутанным случайным процессом, но если наблюдения того же течения проводятся прибором с достаточной разрешающей способностью, то структура течения будет всегда выглядеть регулярной.

Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда скорость основного течения равна нулю. Пусть область 33 ограничена неподвижными твердыми стенками, так что на тогда кинетическая энергия любого движения в 33 в соответствии с условием (73.2) должна стремиться к нулю по закону

где кинетическая энергия движения при Остается, однако, неясным, будет ли само поле скоростей при стремиться к нулю. В качестве последнего следствия докажем теорему единственности установившихся течений в фиксированной ограниченной области

Пусть два установившихся течения в области с заданным, не зависящим от времени распределением скорости на границе пусть нижняя грань характеристических чисел тензора деформаций течения и пусть Тогда течения должны совпадать, если

Доказательство этого утверждения очевидно: кинетическая энергия поля должна быть постоянной и вместе с тем удовлетворять оценкам (73.2) и (73.3). При

выполнении хотя бы одного из неравенств (73.8) отсюда следует, что

Сформулированная теорема существенно зависит от предположения (73.8); в общем случае можно, по-видимому, построить пример неединственности.

Как показывает предыдущий анализ, при больших величинах вязкости все течения с одинаковым распределением скорости на границе после, достаточно долгого времени будут одинаковы. С другой стороны, при малых значениях вязкости (или, эквивалентно, при больших числах Рейнольдса) наблюдаемые течения уже не стремятся к единственному предельному течению. Указанные факты легко проиллюстрировать на простых примерах течений Куэтта и Пуазейля, для которых устойчивый ламинарный режим возможен только при малых числах Рейнольдса. Исходя из экспериментальных результатов, Хопф высказал предположение о существовании класса решений уравнений Навье — Стокса, соответствующих течениям, наблюдаемым после достаточно долгого промежутка времени, когда влияние начальных данных уже не сказывается. При больших величинах вязкости этот класс исчерпывается одним решением; при уменьшении вязкости таких решений становится все больше и больше. При фиксированном класс Хопфа выделяет "устойчивое" многообразие в фазовом пространстве всех возможных решений. В работе Хопфа, на которую мы ссылались выше, это предположение сформулировано более четко и подтверждено интересной "математической моделью" уравнений Навье — Стокса, решения которой можно выписать в замкнутом виде.

В связи с гипотезой Хопфа было высказано предположение, что при кинетическая энергия произвольного течения убывает до некоторой определенной величины, зависящей только от величины вязкости и граничных условий. Эта задача была исследована Хопфом в предположениях, сформулированных в начале данного пункта. Полученные им результат» в сущности просты, но громоздкие выкладки вынуждают нас отослать читателя к первоисточнику.

Исследование течений в неограниченных областях в принципе проводится так же, как и для ограниченных областей, поэтому мы предоставляем читателю соответствующее обобщение приведенных выше результатов.