5. Уравнение неразрывности.

Мы предполагаем, что масса жидкости, заключенной в объеме 23, определяется формулой

где Плотности приписывается физическая размерность "масса/единица объема".

Обращаясь к физическому значению понятия массы, мы постулируем следующий принцип сохранения массы-, масса жидкости в объеме 33, движущемся вместе с жидкостью, неизменна во все время движения. Этот принцип сохранения массы можно сформулировать иначе как утверждение

Из уравнений (4.1) и (5.2) следует, что

и в силу произвольности объема мы получаем

Равенство (5.3), являющееся необходимым и достаточным условием сохранения массы в каждом движущемся объеме, носит название уравнения неразрывности в форме Эйлера. Воспользовавшись формулой (3.6), мы можем записать уравнение неразрывности в другом виде:

Заметим, что в сущности приведенные рассуждения принадлежат Эйлеру.

Умножив уравнение (5.3) на У и применив формулу (3.8), мы получим уравнение неразрывности в форме Лагранжа:

здесь обозначает первоначальное распределение плотности.

Принцип сохранения массы выражают иногда в эквивалентной форме для фиксированного объема: скорость изменения массы в фиксированном объеме равна потоку массы через граничную поверхность, т. е.

Применение теоремы Гаусса-Остроградского к правой части равенства (5.6) приводит к уравнению

из которого легко получить уравнение (5.4). В большинстве учебников изложение идет именно по этому пути, но применение теоремы о дивергенции маскируется рассмотрением вариации в малом параллелепипеде. Единственным возражением против такого обоснования уравнения неразрывности является большая убедительность принципа сохранения массы в его первой форме.

В заключение этого раздела мы приведем важную формулу, справедливую для произвольной функции

Равенство (5.7) легко вывести из формул (4.1) и (5.3).