Главная > Математические основы классической механики жидкости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

20. Уравнения движения в естественных координатах.

Рассмотрим плоское установившееся движение. Пусть обозначают длину дуги линий тока и их ортогональных траекторий. Поставим своей задачей найти вид уравнений движения, записанных в производных по переменным Удобно начать наши рассмотрения с формулы для дивергенции вектора скорости; на этом примере станет ясным также общий метод, используемый в этом пункте. В декартовой системе координат с началом в неподвижной относительно жидкости точке и осями, направленными по проходящим через линии тока и ортогональной траектории,

здесь через - обозначен угол наклона вектора скорости к оси х исходной системы координат. Произведя указанное, дифференцирование, мы получим, что в точке

Искомая формула, таким образом; получена. Введя в рассмотрение кривизну и К линий тока и их ортогональных траекторий соответственно

мы можем, воспользовавшись равенством (20.1), записать уравнение неразрывности в виде

Точно так же, применив формулу

мы получим в проекциях на линию тока и на ее ортогональную траекторию уравнения

Уравнения (20.2) и (20.4) образуют систему уравнений установившегося плоского течениям естественных координатах. Рассуждения, аналогичные использованным при выводе формулы (20.1), позволяют найти для определения завихренности формулу

Рис. 3. Естественные координаты в трехмерном течении.

Легко выписать соответствующие уравнения для осесимметричного течения. В частности, мы вместо уравнения (20.2) получим

а уравнения (20.4) и (20.5) остаются неизменными.

Полученные выше уравнения без труда обобщаются на трехмерный случай, если воспользоваться формулами Френе

где через обозначены соответственно касательная, главная нормаль и бинормаль к линии тока. Мы имеем

Следовательно, если обозначить то уравнение неразрывности можно записать в виде

Аналогично подставив в уравнения движения выражение и воспользовавшись формулой (20.3), мы получим

Второе слагаемое левой части можно преобразовать по одной из формул Френе, после чего, записав уравнение (20.9) в проекциях на направления и мы получим

Уравнения (20.8) и (20.10) являются искомыми уравнениями установившегося движения в естественных координатах.

Выражение для вектора завихренности проще всего получить следующим способом. Заметим, что

где неподвижная относительно потока точка, декартовы координаты с началом отсчета в точке (см. рис. 3). Подставив в соотношение (20.11) выражение и выполнив указанные дифференцирования, мы получим в точке

В случае безвихревого течения или в более общем случае, когда поле скоростей нормально к однопараметрическому семейству поверхностей множитель в уравнении (20.8) можно интерпретировать как сумму главных кривизн (среднюю кривизну) эквипотенциальных поверхностей или в общем случае поверхностей

Остальная часть этой главы разбита на два параграфа, в которых излагаются результаты исследований безвихревого и вихревого движений соответственно. Сначала мы рассмотрим более простой и более изученный случай безвихревого движения.

1
Оглавление
email@scask.ru