20. Уравнения движения в естественных координатах.

Рассмотрим плоское установившееся движение. Пусть обозначают длину дуги линий тока и их ортогональных траекторий. Поставим своей задачей найти вид уравнений движения, записанных в производных по переменным Удобно начать наши рассмотрения с формулы для дивергенции вектора скорости; на этом примере станет ясным также общий метод, используемый в этом пункте. В декартовой системе координат с началом в неподвижной относительно жидкости точке и осями, направленными по проходящим через линии тока и ортогональной траектории,

здесь через - обозначен угол наклона вектора скорости к оси х исходной системы координат. Произведя указанное, дифференцирование, мы получим, что в точке

Искомая формула, таким образом; получена. Введя в рассмотрение кривизну и К линий тока и их ортогональных траекторий соответственно

мы можем, воспользовавшись равенством (20.1), записать уравнение неразрывности в виде

Точно так же, применив формулу

мы получим в проекциях на линию тока и на ее ортогональную траекторию уравнения

Уравнения (20.2) и (20.4) образуют систему уравнений установившегося плоского течениям естественных координатах. Рассуждения, аналогичные использованным при выводе формулы (20.1), позволяют найти для определения завихренности формулу

Рис. 3. Естественные координаты в трехмерном течении.

Легко выписать соответствующие уравнения для осесимметричного течения. В частности, мы вместо уравнения (20.2) получим

а уравнения (20.4) и (20.5) остаются неизменными.

Полученные выше уравнения без труда обобщаются на трехмерный случай, если воспользоваться формулами Френе

где через обозначены соответственно касательная, главная нормаль и бинормаль к линии тока. Мы имеем

Следовательно, если обозначить то уравнение неразрывности можно записать в виде

Аналогично подставив в уравнения движения выражение и воспользовавшись формулой (20.3), мы получим

Второе слагаемое левой части можно преобразовать по одной из формул Френе, после чего, записав уравнение (20.9) в проекциях на направления и мы получим

Уравнения (20.8) и (20.10) являются искомыми уравнениями установившегося движения в естественных координатах.

Выражение для вектора завихренности проще всего получить следующим способом. Заметим, что

где неподвижная относительно потока точка, декартовы координаты с началом отсчета в точке (см. рис. 3). Подставив в соотношение (20.11) выражение и выполнив указанные дифференцирования, мы получим в точке

В случае безвихревого течения или в более общем случае, когда поле скоростей нормально к однопараметрическому семейству поверхностей множитель в уравнении (20.8) можно интерпретировать как сумму главных кривизн (среднюю кривизну) эквипотенциальных поверхностей или в общем случае поверхностей

Остальная часть этой главы разбита на два параграфа, в которых излагаются результаты исследований безвихревого и вихревого движений соответственно. Сначала мы рассмотрим более простой и более изученный случай безвихревого движения.