ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

§ 1. Кинематика и динамика движения жидкости

3. Основные понятия кинематики.

Математическим понятием, соответствующим интуитивному физическому представлению о движении жидкости, является понятие непрерывного преобразования трехмерного евклидова пространства в себя. Параметр описывающий это преобразование, отождествляется с временем. Роль начального момента времени будет играть а областью изменения мы будем обычно считать всю действительную ось.

Для аналитического описания преобразования введем фиксированную в пространстве прямоугольную систему координат Тройку координат мы отождествляем с точкой пространства и обозначаем через х Рассмотрим теперь характерную точку или частицу движущуюся с жидкостью. Пусть в момёнт она находится в точке а в момент в точке Тогда величина х определена как функция и течение может рассматриваться как преобразование

Если X фиксировано, изменяется, то уравнение (3.1) определяет траекторию частицы первоначально находившейся в точке С другой стороны, при фиксированном соотношение (3.1) определяет преобразование области, занимаемой жидкостью в начальный момент, в область, занимаемую жидкостью в момент времени

Мы предполагаем, что первоначально различные точки остаются различными во все время движения, или, другими

словами, что для преобразования (3.1) существует обратное преобразование:

Предполагается также, что и обладают непрерывными производными до третьего порядка по всем переменным, исключая, быть может, некоторые особые поверхности, кривые или точки. Если противоположное не оговорено, мы будем рассматривать только те части течения, которые не содержат особенностей. Исключительные случаи (в частности, особые поверхности) требуют специального изучения; о них речь будет идти в п. 51 и 54. Заметим в заключение, что внутри любой замкнутой поверхности, движущейся с жидкостью, содержатся одни и те же частицы во все время движения.

Хотя течение полностью определяется преобразованием (3.1), столь же важно рассмотреть состояние движения в данной точке пространства, изменяющееся во времени. Оно описывается при помощи функций

которые дают нам значение плотности, скорости и т. д. для частицы, находящейся в момент в точке х. Значение описания поля (3.3) при изучении движения жидкости было отмечено впервые Даламбером (1749 г.) и Эйлером (1752 г.). Замечательная идея изучения движения непосредственно через дифференциальные уравнения с частными производными относительно величин (3.3) принадлежит Эйлеру.

Переменные введенные при рассмотрении поля (3.3), будут в дальнейшем называться пространственными (их называют также переменными Эйлера); переменные

которые выделяют некоторую фиксированную частицу, мы будем называть переменными Лагранжа.

Любую величину заданную как функцию пространственных переменных можно рассматривать также и как функцию переменных Лагранжа и наоборот. Если мы хотим подчеркнуть зависимость от определенных переменных, то мы пишем или при этом функции связаны, конечно, заменой переменных (3.1) и (3.2). Геометрически эти функции можно интерпретировать так: есть величина определенная в момент времени для частицы, которая находилась первоначально в точке есть величина определенная для частицы, находящейся в момент в положении х. Мы будем употреблять обозначения

для двух возможных производных по времени от очевидно, что это совершенно разные величины. Производная называется материальной производной от Она измеряет скорость изменения величины для выбранной частицы и может быть выражена как в переменных Лагранжа, так и в пространственных переменных. С другой стороны, дает скорость изменения величины для наблюдателя, находящегося в точке х.

Скорость частицы определяется следующим образом:

В силу этого определения скорость является функцией переменных Лагранжа; на практике, однако, чаще имеют дело с ее определением в пространственных переменных:

В большинстве задач важно знать а не действительное движение (3.1).

Мы ввели поле скоростей при помощи движения, заданного соотношениями (3.1). При рассмотрении поля скоростей заданного независимо от соотношений (3.1),

естественно возникает вопрос о существовании и нахождении движения с этим полем скоростей. Задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений

при начальных условиях Интегрирование уравнения (3.4) должно быть выполнено "в целом" и, следовательно, не всегда представляет простую задачу

Ускорение есть скорость изменения для движу щейся частицы. Обозначив вектор ускорения через а, мы получим Заметим, что ускорение можно найти непосредственно по полю скоростей

или

Равенство (3.5) является частным случаем общей формулы

связывающей материальную производную с пространственной. Выражение (3.6) можно интерпретировать для произвольной величины как скорость изменения во времени для наблюдателя, движущегося с частицей, которая в момент находится в точке х. Якобиан преобразования (3.1)

дает величину относительного расширения бесконечно малого объема, движущегося с жидкостью. Из предположения о существовании дифференцируемого обратного преобразования следует, что

Впоследствии мы будем пользоваться изящной формулой

принадлежащей Эйлеру. Для ее вывода обозначим через алгебраическое дополнение в элемента Тогда из соотношения

следует, что

Несжимаемые жидкости. Если жидкость предполагается несжимаемой (это означает, что движение происходит без изменения объема), то из формулы (3.8) следует, что

Дальнейшее изучение движения несжимаемой жидкости должно включать в себя динамические рассуждения; в частности, обычное предположение всякий раз нуждается в динамическом обосновании.