49. Установившееся плоское течение.

Пусть в области установившегося плоского течения некоторая кривая С задана параметрическим уравнением где — длина дуги кривой С. Заданные на С параметры течения можно записать в следующем виде:

Нас интересует вопрос: при каких условиях, наложенных на С, нельзя по заданным функциям (49.1) определить в точках С производные от величин

Для определения этих производных имеем следующую систему уравнений:

где заданное уравнение состояния. Выписанную систему уравнений легко привести к виду

в котором мы и будем ею пользоваться. Чтобы упростить рассуждения, выберем систему координат таким образом, что ось у касается кривой С в некоторой точке в этом случае величины частных производных по у в точке известны и задача сводится к вопросу о возможности определения производных по х. Для определения этих производных мы имеем систему линейных уравнений:

Следовательно, условием того, что кривая С представляет собой характеристику, является невозможность определения из этой системы уравнений производных

Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при производных, получаем уравнение

Таким образом, кривая С является характеристикой в том и только в том случае, когда в каждой точке С либо 1) нормальная составляющая скорости равна нулю, либо 2) нормальная составляющая скорости по абсолютной величине равна местной скорости звука. Первое условие совпадает, очевидно, с определением линий тока; тот факт, что линии тока являются характеристиками, был, собственно говоря, ясен заранее. Основную роль в излагаемой ниже теории играют характеристики, определяемые вторым условием.

Характеристические кривые, для которых выполнено второе условие, будут, очевидно, иметь место только в случае сверхзвукового течения. Рассмотрим в фиксированной системе координат два поля направлений:

где угол наклона вектора скорости, местый угол Маха:

Итак, семейство характеристик плоского установившегося течения образовано из кривых удовлетворяющих первому из уравнений (49.4), кривых удовлетворяющих второму из уравнений (49.4), и линий тока. Через каждую точку области сверхзвукового течения проходят, следовательно, три характеристики; заметим, что касательная к линии тока является биссектрисой угла между кривыми (рис. 7, а), Характеристики можно интерпретировать как линии, по которым проходит распространение бесконечно малых возмущений в установившемся течении; столь же важна, однако, интерпретация характеристик как таких линий, вдоль которых могут "соприкасаться" два решения.

Рис. 7. Характеристические кривые. а — характеристики в плоскости течения, образы характеристик в плоскости годографа.

Параметры течения на характеристиках нельзя задавать произвольным образом. В самом деле, на характеристиках, являющихся линиями тока, мы имеем очевидные условия

выражающие постоянство энтропии и "энергии". На линиях Маха (т. е. на характеристиках ) из условия совместности системы линейных уравнений (49.3) получаем уравнение

опустив отличный от нуля множитель, это уравнение можно записать так:

Вид этого уравнения связан, конечно, со специальным выбором системы координат, введенной в начале этого пункта. Воспользовавшись условием на линии Маха, мы можем записать уравнение (49.5) в виде

где знаки — относятся соответственно к характеристикам Уравнение (49.6) нетрудно записать в виде, не зависящем от специального выбора системы координат, а именно в виде

здесь точка означает дифференцирование по о (длине дуги характеристики).

В случае безвихревого изэнтропического течения линии тока перестают быть характеристиками (условия дают информацию, достаточную для определения производных от параметров течения, заданных на линии тока). Воспользовавшись уравнением Бернулли (37.3), мы можем исключить из уравнения (49.7), после чего получим, что на линии Маха имеет место соотношение

Правая часть уравнения (49.8) зависит, очевидно, только от Следовательно, на характеристиках в физической плоскости модуль вектора скорости и угол его наклона связаны простым соотношением

В силу этого соотношения образы характеристик С безвихревого изэнтропического течения в плоскости годографа принадлежат однопараметрическому семейству кривых, не зависящему при фиксированных от характера течения данного газа. По традиции мы будем обозначать образ характеристики

через и образ характеристики через . [Так как кривые являются характеристиками уравнений годографа (43.2), они называются также характеристиками в плоскости годографа.]

Из свойств функции можно получить ряд сведений относительно геометрии кривых Прежде всего заметим, что функция монотонно возрастает при

Кроме того, при мы имеем при мы имеем Кривизна кривой определяется формулой

и является в силу неравенства (37.7) величиной положительной. Все вышесказанное позволяет утверждать, что кривые в плоскости представляют собой раскручивающиеся против часовой стрелки спирали, заключенные между фиксированными окружностями и эти спирали получаются вращением какой-либо одной из них вокруг начала координат (рис. 8).

Рис. 8. Кривые в плоскости годографа.

Аналогичное утверждение справедливо, очевидно, и относительно кривых Наконец, из элементарных

геометрических соображений ясно, что уравнение (49.8) эквивалентно уравнению

Сравнивая уравнения (49.10) и (49.4), получаем, что направления характеристик ортогональны направлениям характеристик соответственно (рис. 7). Полученные выше результаты справедливы для любого газа независимо от вида уравнения состояния.

Можно показать, что разрыв на характеристике в случае изэнтропического безвихревого течения удовлетворяет вдоль этой характеристики уравнению Риккати. Из этого следует, что величина разрыва определяется единственным образом и не обращается в нуль ни в одной точке характеристики, если известно значение (отличное от нуля) этого разрыва в некоторой точке характеристики. Нужно подчеркнуть, что все это касается только распространения разрывов и не применимо к разрывам самой функции Разрывы самих переменных течения распространяются как "ударные волны", и процесс распространения разрыва носит при этом качественно иной характер (см. гл. 6).

Для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями характеристики представляют собой эпициклоиды, получающиеся при обкатывании окружности окружностью радиуса Преимущество совершенного газа заключается в том, что независимо от состояния системы можно пользоваться одной и той же диаграммой характеристик. В противоположность этому в случае произвольного газа вид характеристик в плоскости годографа существенно зависит от величины энтропии и энергии рассматриваемого равновесного состояния. Это незначительное с теоретической точки зрения преимущество существенно упрощает численные расчеты течений совершенного газа.

Осесимметричное течение. Метод, использованный выше при выводе уравнений характеристик плоского течения, применим и к случаю осесимметричного течения. В силу различий в формуле для мы приходим в этом случае

к системе уравнений, несколько отличающейся от (49.3):

здесь обозначает угол, образованный вектором скорости и осью вращения. Легко видеть, что характеристические кривые в полуплоскости осесимметричного течения определяются теми же условиями, что и в случае плоского течения. Условие на характеристиках имеет, однако, несколько отличный от условия (49.7) вид:

Для изэнтропического безвихревого течения уравнение (49.11) можно записать так:

Образы линий Маха на плоскости годографа, следовательно, - не образуют фиксированного семейства кривых в отличие от случая плоского течения. В связи с этим расчет осесимметричных течений представляет значительные трудности.