42. Функция тока.

Для несжимаемой жидкости функция тока была введена в п. 19. Высказанные там соображения можно использовать и в случае сжимаемой жидкости, если предположить, что течение является установившимся. Уравнение неразрывности установившегося плоского течения имеет вид

Легко видеть отсюда, что функцию тока можно определить следующим образом:

При таком определении линии являются, очевидно, линиями тока.

Воспользовавшись уравнениями (17.8) и (42.1), мы сразу получаем уравнение

где вектор с компонентами Этому уравнению относительно можно придать более совершенную форму, преобразовав член Преобразования носят стандартный характер, однако в некоторых современных работах они излагаются, некорректно, поэтому мы приводим их ниже. Начнем с очевидных соотношений:

где Подставив выражения (42.3) в уравнение (38.1) и разрешив его относительно получим, что

Наконец, подставив последнее выражение в уравнение (42.2) и заметив, что

где мы после некоторых упрощений придем к уравнению

Это и есть искомое уравнение для функции тока. (Этот вывод упрощается в случае изэнтропического течения и становится совсем простым, когда течение является одновременно изэнтропическим и безвихревым.) Член, стоящий в правой части уравнения (42.4), можно связать с уравнением Крокко — Важоньи, которое для плоского течения имеет вид

где

Если известные функции, то уравнение (42.4) можно рассматривать как уравнение второго порядка с частными производными относительно

Смысл уравнения (42.4) станет более понятным, если рассмотреть частный случай совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями. В этом случае

(см. п. 35), и после несложных вычислений мы получим

где акустический импеданс. Уравнению (42.6) можно придать более простую форму, которая одновременно является более удобной для численного расчета течений. Рассмотрим с этой целью сопряженное течение (см. п. 39), определенное формулами

Функция тока этого течения удовлетворяет соотношению следовательно,

Таким образом, зная только функцию тока можно при помощи обычных газодинамических таблиц простых формул) получить значения различных параметров исходного течения Функция тока удовлетворяет, очевидно, уравнению (42.6) для сопряженного течения. Мы имеем

и

Подставляя эти выражения в уравнение (42.6), получаем

Уравнение (42.8) является тем самым упрощением уравнения (42.6), о котором мы говорили выше. Значительное преимущество уравнения (42.8) обусловливается тем, что его коэффициенты легко выразить непосредственно через Добавим, что в уравнении (42.8) функции входят только в величину . В табл. 2 приведены численные значения коэффициентов уравнения (42.8); более удобным оказывается представить все величины в виде функций от числа Маха, хотя на самом деле независимой переменной является величина Следует отметить, что максимум величины равен 0,579 и что каждое значение меньшее 0,579, встречается в таблице дважды. Этот факт становится понятным, если вспомнить, что величина представляет собой поток массы Связанная с этим неопределенность в выборе значений коэффициентов (42.8) не может вызвать недоразумений, так как в зависимости от характера исследуемой задачи мы пользуемся либо частью таблицы, относящейся к дозвуковому режиму, либо частью, относящейся к сверхзвуковому режиму.

Таблица 2 (см. скан) Коэффициенты уравнения (42.8)

Для течений с постоянной энергией уравнение, эквивалентное уравнению (42.8), было получено в работе Крокко. Приведенные здесь результаты представляют собой обобщение и упрощение рассуждений, содержащихся в этой работе. В заключение заметим, что введение функции тока сопряженного течения имеет смысл только в случае совершенного газа. Отметим также, что функция тока претерпевает разрыв на фронте ударной волны, тогда как исходная функция тока остается непрерывной.

Изэнтропическое безвихревое течение. В этом случае уравнение (42.4) принимает простую и изящную форму, а именно

Уравнение (42.9) можно получить при желании непосредственно из уравнения (42.2). Интересно, что потенциал скоростей удовлетворяет уравнению с такими же коэффициентами (см. п. 45).

В случае совершенного газа при расчетах обычно используется несколько более удобное для этих целей уравнение, которому удовлетворяет функция тока сопряженного течения.

Осесимметричное течение. Исследование в этом случае полностью аналогично проведенному выше. Функцию тока можно определить следующим образом:

Путем выкладок, аналогичных те, которые привели к уравнению (42.4), найдем, что функция удовлетворяет уравнению

Член, стоящий в правой части уравнения, получается применением формулы Для безвихревого течения правая часть обращается в нуль. В этом случае потенциал скорости удовлетворяет уравнению, мало отличающемуся от уравнения для функции тока:

Заметим в добавление, что пара функций тока для пространственных течений была введена Гизе