§ 2. Динамическое подобие

В следующих ниже пунктах будут выведены необходимые условия динамического подобия двух течений вязкой жидкости. Мы принимаем линейный закон зависимости напряжений от деформаций, но не предполагаем вязкость и теплопроводность постоянными. Случаи сжимаемой и несжимаемой жидкости удобно рассматривать отдельно.

66. Сжимаемые вязкие жидкости.

Два течения являются динамически подобными, если они связаны соотношениями

и

(см. п. 36). Мы ставим своей задачей выяснение тех свойств двух динамически подобных течений, которые следуют из соотношений (66.1) и (66.2); так как при этом придется проделать большую работу, читатель, которого интересуют только окончательные результаты, может обратиться сразу к утверждению, сформулированному на стр. 221.

Уравнение неразрывности не накладывает никаких ограничений на величины коэффициентов подобия, так что мы переходим сразу к уравнению Навье — Стокса (61.4). Пренебрегая действием внешних сил, мы после подстановки в это уравнение выражений (66.1) и (66.2) получаем

Предполагается, что коэффициенты зависят только от термодинамических переменных и (В частном случае постоянных коэффициентов вязкости члены, стоящие во второй и третьей строках уравнения (66.3), обращаются в нуль.) Рассмотрим теперь семейство кривых С в пространстве х, определяемых уравнениями Вдоль любой из этих кривых уравнение (66.3) имеет вид

где постоянные, векторные переменные; в частности, силу того, что "помеченное штрихами" течение удовлетворяет уравнению Навье — Стокса, мы вдоль кривых С имеем также

где Из этих двух уравнений следует, что

и

(Эти рассуждения теряют свою силу, если переменные не независимы на кривых примером может служить плоское течение. В таких случаях мы можем, однако, получить указанные результаты, не вводя в рассмотрение кривые С и предположив, что коэффициенты вязкости постоянны или что )

К соотношению (66.4) мы вернемся далее, после выяснения других необходимых условий динамического подобия. Что касается соотношения (66.5), то его следствием является утверждение: отношение и местное число Рейнольдса должны принимать равные значения в соответствующих точках двух динамически подобных течений. Через I здесь обозначен некоторый характерный размер (геометрически подобных) областей течения. Следует подчеркнуть, что этот результат доказан при переменных коэффициентах вязкости и независимо от соотношения Стокса.

Из соотношений (66.5) следует также, что отношение не зависит от поэтому

При естественном предположении о справедливости этого соотношения для любых значений мы получаем отсюда

таким образом,

и, следовательно, . Аналогичным образом получаем соотношение так что окончательно Так как в силу соотношения то справедлива следующая теорема: для того чтобы были возможны динамически подобные течения двух снимаемых жидкостей при произвольных значениях необходимо, чтобы коэффициенты вязкости каждой из этих жидкостей имели вид

с одними и теми же постоянными тип. Кроме того, отношения для этих жидкостей должны совпадать.

Дальнейшее исследование основано на предположении, что уравнение состояния жидкости является уравнением состояния совершенного газа

Из уравнений (66.1) и (66.7) следует, что

последнее равенство служит для определения коэффициента подобия Подставив выражения (66.1), (66.2), (66.7) и (66.8) в уравнение энергии получим

где Если по аналогии с предыдущими рассуждениями ввести в рассмотрение семейство кривых С, то, следуя указанной схеме, нетрудно получить, что

Тогда из соотношений (66.8) и (66.10) мы имеем Так как это означает, что другими словами, отношение удельных теплоемкостей для обоих газов должно быть одним и тем же в соответствующих точках течений. На основании этого равенства, соотношения (66.5) и второго соотношения (66.10) мы заключаем, что число Прандтля

должно оыть одним и тем же в соответствующих точках течений. Наконец,

Возвращаясь к условию (66.4) и сравнивая его с соотношением (66.11), мы видим, что местные числа Маха должны совпадать в соответствующих точках течений.

Если возможны динамически подобные течения двух газов при произвольных значениях то величины 7 и 7 должны быть постоянными. Наряду с этим постоянны и выполняется условие Таким образом, подводя итог проведенному выше исследованию, мы можем сформулировать следующую теорему.

Если два совершенных газа с отличными от нуля коэффициентами вязкости и теплопроводности находятся в динамически подобном движении, то местные числа Рейнольдса и местные числа Маха равны в соответствующих точках течений. Кроме того, в соответствующих точках равны отношения удельных теплоемкостей 7, отношения коэффициентов вязкости и числа Прандтля о.

Если динамически подобные движения двух таких газов возможны при произвольных значениях то для каждого из газов

с одними и теми же постоянными Кроме того, отношения удельных теплоемкостей и числа Прандтля обоих газов постоянны и равны.

Следует отметить, что хотя сформулированные в теореме условия являются довольно жесткими, газы, с которыми мы имеем дело в практических задачах, им, как правило, удовлетворяют.

При более детальном изучении вопроса о динамическом подобии нужно учитывать влияние граничных условий. При решении возникающих при этом сложных задач плодотворными оказываются методы теории размерностей. Однако во всех тех случаях, когда полное Исследование не проведено, нужно иметь в виду сделанное в п. 36 замечание относительно возможной некорректности выводов, теории размерностей.