ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

§ 1. Общие принципы

36. Введение. В гл. 2 были получены уравнения движения идеальной жидкости, а именно уравнения

и

К ним нужно добавить уравнение энергии (34.3), выведенное в гл. 4. Естественно предположить, что наряду с касательными напряжениями, которыми мы пренебрегаем при рассмотрении идеальных жидкостей, равен нулю также поток тепла (Согласно кинетической теории, вязкость и теплопроводность определяются сходными механизмами взаимодействия молекул и являются величинами одного порядка малости, поэтому, пренебрегая одной из них, мы должны пренебречь и другой.) При этом предположении правая часть уравнения (34.3) обращается в нуль и, следовательно, оно сводится к простейшему виду

Система уравнений (35.1) — (35.3) становится полной, если к ней присоединить термодинамическое уравнение состояния, связывающее величины т. е. уравнение

В частном случае совершенного газа с постоянными удельными теплоемкоетями уравнение (35.4) принимает следующий

Однако в дальнейшем мы, как правило, будем пользоваться только общими свойствами уравнений состояния, сформулированными в п. 30. Из неравенства (30.7), например, вытекает условие которое позволяет ввести термодинамическую переменную с:

Жидкость, удовлетворяющую уравнениям (35.1) — (35.4), мы ниже будем называть идеальным газом. При изучении газовой динамики почти всегда пренебрегают воздействием поля внешних сил, и мы также будем придерживаться этого естественного предположения.

Пожалуй, наиболее характерным свойством системы уравнений (35.1) — (35.4) является конечная скорость распространения волн давления. Для пояснения этого факта воспользуемся следующими соображениями. Рассмотрим течение, полученное возмущением состояния покоя и предположим, что амплитуда этого возмущения мала. Если при этом пренебречь квадратами малых величин, то уравнения (35.1) и (35.2) примут следующий вид:

Исключение из этих уравнений приводит к соотношению С другой стороны, из уравнений (35.3) и (35.4) следует, что Таким образом, малые возмущения давления должны удовлетворять уравнению

В силу хорошо известных свойств решений этого уравнения малые возмущения давления распространяются со скоростью Приведенные рассуждения, несмотря на свою нестрогость, показывают естественность введенного выше определения

скорости звука с. В более точной постановке вопрос о распространении волн будет рассмотрен в п. 51 и 54.

Нужно заметить, что с не является постоянной, а представляет собой термодинамическую переменную, зависящую от состояния жидкости. Например, для совершенного газа

где универсальная газовая постоянная, отнесенная к единице массы (в системе величина равна для воздуха и грамм-моль для чистого газа). Точность формулы (35.7) можно оценить, вычислив значение с для воздуха при 0° по шкале Цельсия (273,16° по абсолютной шкале). Подставив в формулу и приведенное выше значение мы получим что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Это совпадение является одним из важных доводов в пользу применения теории идеальной жидкости для изучения движения газов.

Концепция конечной скорости звука приводит к хорошо известной картине дозвукового и сверхзвукового течения.

Хотя различия между этими течениями будут естественным образом получены в последующем исследовании, представляется полезным уже здесь выяснить некоторые особенности указанных течений при помощи интуитивных соображений. Рассмотрим случай установившегося дозвукового течения, например горизонтальный полет самолета с постоянной дозвуковой скоростью. При этом возмущение давления распространяется в направлении движения самолета со скоростью, равной разности скорости звука и скорости полета, а в обратном направлении — со скоростью, равной сумме скорости звука и скорости полета. Следовательно, возмущение достигает любой точки при условии, что полет продолжается бесконечно долго. Другая картина будет при полете со сверхзвуковой скоростью. Зона возмущения ограничена теперь конусом, простирающимся от передней точки самолета назад, причем образующие этого конуса составляют с его осью угол, равный эту картину нужно внести некоторые изменения, если рассматриваются возмущения конечной амплитуды, т. е. ударные волны).