64. Граничные условия.

Рассмотрим теперь те динамические условия, которые должны выполняться на границе жидкости. На свободной поверхности или на внутренней поверхности раздела двух различных жидкостей выполняется, как заметил Ламб, условие непрерывности вектора напряжений. Вопрос о достаточности этого условия для непрерывности поля скоростей при переходе через свободную поверхность или поверхность раздела остается пока открытым, однако исследование различных частных случаев показывает, что утвердительный ответ кажется правдоподобным.

Сложнее обстоит дело с условиями, которые должны выполняться на твердых участках границы; здесь мы сталкиваемся с некоторыми противоречиями. Стоке придерживался

той точки зрения, что жидкость прилипает к твердому телу, так как в противном случае сила сопротивления проскальзыванию двух соседних слоев жидкости должна была бы превосходить силу проскальзывания слоя жидкости над твердым телом в бесконечное число раз. Эксперименты с капиллярным вискозиметром показывают, что по крайней мере для жидкостей при обычных условиях расход убывает очень быстро, примерно как радиус в четвертой степени. Это указывает на то, что прилипание действительно имеет место. Хотя убедительность указанных фактов не вызывает сомнений, они имеют место только при незначительных касательных напряжениях и не очень низких давлениях. Очевидно, например, что условие прилипания неприменимо при изучении полетов на больших высотах.

Для объяснения наблюдаемых при экспериментах явлений мы имеем, во-первых, классическое условие прилипания

где обозначает разность между скоростью жидкости и скоростью границы. Вместо условия (64.1) предлагались различные условия проскальзывания, из которых наибольший интерес представляет следующее:

(индексы обозначают соответственно нормальную и касательную составляющие). Этот естественный с физической точки зрения закон находит подтверждение в кинетической теории. Если в формулах (64.2) коэффициент является переменной величиной, зависящей от термодинамического состояния (в частности, если равен нулю вне области низких давлений), то формулы (64.2) могут включать в себя условие прилипания. Нам кажется естественным обобщение условия (64.2) путем введения "коэффициента трения" при малых тангенциальных напряжениях и высоких давлениях такое обобщенное условие будет сводиться к условию прилипания, а в противоположном предельном случае — к

условию (64.2). Точнее, мы полагаем

где некоторые положительные постоянные, и принимаем в качестве граничного условия

В настоящее время еще не проверено, насколько хорошо эти соотношения согласуются с экспериментами. Различные другие граничные условия были предложены в работах Максвелла, Дюгема, Кнудсена, а также Чанга и Уленбека. Критический обзор исследований по этому вопросу можно найти в работах Бейтмена [2], часть II, § 1.2, 1.7, 3.2, Трусделла и Паттерсона ([32], гл. 5).

В оставшейся части этой статьи в качестве стандартного граничного условия мы принимаем условие (64.1). Нетрудно показать, что при этом предположении вектор завихренности направлен по касательной к неподвижной стенке. В самом деле, по теореме Стокса

где произвольная площадка на стенке, ограниченная контуром с. Следовательно, на стенке Исходя из классического закона вязкости (64.1), Беркер аналогичными рассуждениями показал, что вектор напряжений

имеет на неподвижной стенке следующее выражение:

В силу этих формул касательные напряжения зависят только от местной завихренности, тогда как нормальные напряжения зависят от давления и величины Заметим, что в случае сжимаемой жидкости величина нормального напряжения отличается от среднего давления точнее, между нормальным напряжением давлением жидкости и средним давлением имеет место следующее соотношение: