7. Закон сохранения момента количества движения.

В классической динамике материальных точек или твердых тел принцип сохранения момента количества движения обычно формулируется в виде теоремы. Ее доказательство основано, однако, на определенных предположениях относительно "внутренних" сил взаимодействия частиц или тел, образующих материальную систему. Аналогичный метод применим и в механике сплошных сред. Здесь для того, чтобы обеспечить сохранение момента количества движения, нужно

сделать определенные предположения относительно напряжений на поверхностных элементах или, другими словами, относительно тензора напряжений. Точнее: мы постулируем симметричность тензора напряжений, т. е. равенство

(При наличии внешних моментов сил введенное предположение нуждается в модификации. Однако при изучении механики жидкости можно, что мы и делаем в дальнейшем, пренебрегать воздействием этих закручивающих моментов, так как они, вообще говоря, возникают только в поляризованном веществе.) Соотношения (7.1) были получены впервые Кошикак следствие принципа сохранения момента количества движения. Тот факт, что эти условия являются и достаточными для справедливости указанного принципа, был обнаружен Больцманом (см. [42], стр. 9).

Теорема (закон сохранения момента количества движения). Для любой сплошной среды, удовлетворяющей уравнению неразрывности (5.3), уравнениям движения (6.7) и постулату Больцмана (7.1), мы имеем

для произвольного объема , движущегося вместе с жидкостью.

Доказательство. Исходя из уравнений (5.7) и (6.7), нетрудно показать, что

Через здесь обозначен вектор с компонентами В силу соотношений (7.1) мы имеем и уравнение (7.2) доказано. Верно и обратное утверждение: если уравнение (7.2) справедливо для произвольного объема 23, то тензор должен быть симметричным.

Для некоторых жидкостей тензор напряжений оказывается симметричным в силу чисто механических причин, независимо от каких-либо других предположений. Мы отметим, в частности, невязкие жидкости, для которых и изотропные вязкие жидкости, для которых напряжение является функцией от скорости деформации В этих практически интересных случаях постулат Больцмана является просто тавтологией и уравнение (7.2) может быть получено непосредственно из уравнений движения.

Можно формально построить механическую систему, для которой тензор будет несимметричным; примеры таких систем приведены в работе Гамеля [42]. Принцип сохранения момента количества движения в форме (7.2) в этом случав уже несправедлив и нуждается в обобщении.