47. Вариационные принципы газовой динамики.

В этом пункте мы рассмотрим некоторые экстремальные свойства установившегося дозвукового течения. Изучение этих свойств объясняется, с одной стороны, желанием обобщить теорему Кельвина о минимуме кинетической энергии на случай течений сжимаемой жидкости, а с другой стороны, - необходимостью создания методов расчета таких течений. Заметим, что установленная в п. 15 теорема Херивела — Линя не является вариационным принципом в точном значении этого слова, однако идея Херивела о выборе в качестве функции Лагранжа при формулировке принципа Гамильтона величины в дальнейшем будет служить нам ориентиром при выборе подинтегральной функции.

Рассмотрим некоторый конечный объем газа с границей и предположим, что нормальная составляющая потока массы

удовлетворяет на условию

Мы хотим поставить такую вариационную задачу, которая выделила бы класс безвихревых течений как класс течений, дающих минимум некоторому функционалу над полем скоростей. С этой целью удобно поставить в соответствие каждому полю скоростей некоторое поле "плотности". Мы воспользуемся для определения этого поля уравнением Бернулли

Заметим, что определенное таким образом течение не обязано удовлетворять ни уравнению неразрывности, ни уравнениям движения. Условимся называть скорость дозвуковой, если Сделав эти предварительные замечания, мы можем перейти к изложению результатов.

Принцип Бейтмена — Кельвина. В классе всех дозвуковых полей скоростей, удовлетворяющих уравнению неразрывности и обладающих заданным потоком

массы , минимум интеграла

достигается в том и только том случае, когда поле безвихревое.

Ясно, что поле скоростей являющееся решением этой вариационной задачи, представляет собой динамически возможное изэнтропическое безвихревое течение, удовлетворяющее заданным на граничным условиям. Указанные свойства и определяют ценность принципа Бейтмена. Сформулированный принцип допускает обращение, также принадлежащее по существу Бейтмену.

Принцип Бейтмена — Дирихле. В классе всех дозвуковых полей скоростей максимум интеграла

достигается в том и только в том случае, когда на

Легко видеть, что решение одной из этих вариационных задач является также решением другой вариационной задачи. Кроме того, как станет ясно из дальнейшего, из существования решения следует его единственность. Поэтому справедлива следующая альтернатива: либо эти задачи имеют одно общее им обеим решение, либо решения не существует вообще. В первом из этих случаев, применив теорему Гаусса — Остроградского, мы получаем, что

(впервые это было отмечено Лашем и Черри). Возможность отсутствия решения следует из того, что может не

существовать безвихревого дозвукового течения, удовлетворяющего заданным граничным условиям. Шифман показал, как надо видоизменить эти вариационные задачи, чтобы решение их всегда существовало.

Для доказательства принципа Бейтмена — Кельвина мы введем величину и заметим, что уравнение Бернулли позволяет рассматривать а следовательно, и 3 как функцию от (Как было указано в п. 37, каждому значению величины соответствует два различных значения величины скорости Мы выбираем, естественно, то значение, которое соответствует дозвуковому течению.) Выбор в качестве основной переменной не объясняется тем, что при помощи легче сформулировать условия вариационной задачи. Например, условие принимает вид

Рассмотрим теперь поле вектора дающее минимум -Пусть некоторое допустимое поле вектора Разложив по степеням получим

где

Знак тильда применяется здесь для обозначения величин, вычисленных при некотором промежуточном значении При нахождении и удобно ввести функцию производные этой функции имеют простой вид

Так как рассматриваемые течения дозвуковые , то экстремаль определяется условием Нашей задачей является показать, что это условие эквивалентно условию

Прежде всего, если то и

Здесь мы воспользовались условиями на граничной поверхности . С другой стороны, если для всех допустимых вариаций то поле должно быть безвихревым. В самом деле, предположим противное: в некоторой точке Тогда можно найти вектор А, обращающийся в нуль вне некоторой малой окрестности точки и такой, что

и

Но отсюда следовало бы, что Для некоторой допустимой вариации

Для доказательства принципа Бейтмена-Кельвина остается воспользоваться соотношением

справедливым для любого допустимого поля Из этой формулы следует, что при таким образом доказана и единственность экстремали исследуемой вариационной задачи. Справедливость принципа Бейтмена — Дирихле устанавливается тем же методом, однако рассуждения в этом случае оказываются более простыми, так как 3 зависит от одной функции

При применении принципа Бейтмена — Кельвина для исследования плоских течений вводят в качестве искомой функции функцию тока. Уравнение неразрывности выполняется тогда автоматически, а граничное условие сводится к заданию величины на Аналогичные схемы предлагались и для исследования пространственных течений, однако не ясно, получается ли при этом какое-либо преимущество по сравнению с использованием в качестве неизвестной

Как было отмечено ранее, сформулированные выше вариационные принципы, позволяют строить течение газа путем нахождения экстремалей функционалов 3 и 3- Однако

в практически важном случае обтекания некоторого конечного тела соответствующие интегралы расходятся. Эту трудность, как было показано рядом авторов (Ванг, Шифман, Лаш и Черри), можно обойти, изменив соответствующим образом подинтегральные функции. Например, функционал вариационной задачи Бейтмена — Кельвина (при отсутствии циркуляции) можно записать в виде

где через обозначена скорость потока на бесконечности. Легко видеть, что интеграл (47.2) сходится, если для плоских течений и для трехмерных течений. Как мы видели в п. 45, эти условия действительно имеют место. Вариационная задача о минимуме функционала (47.2) не только приводит к методу численного расчета течений, но и служит отправной точкой для доказательства Шифмана существования дозвукового обтекания заданного тела.

Другие вариационные принципы газовой динамики. Уравнение Бернулли (47.1) можно обобщить, предположив, что где — некоторая заданная функция При этих предположениях решением вариационной задачи Бейтмена — Кельвина является изоэнергетическое и, вообще говоря, вихревое течение. С другой стороны, если вместо уравнения (47.1) рассматривать уравнение

то, как показали Лаш и Черри, экстремум функционала соответствует вихревому изэнтропическому течению.

Представляет, наконец, интерес изучение вариационной задачи, соответствующей функционалу с подинтегральной

функцией где внутренняя энергия, а изменяются независимо. Можно показать, что при условии экстремалью задачи является безвихревое течение, которое, однако, не обязательно соответствует минимуму функционала.

Добавление. Задачи о максимуме функционала или в случае плоского течения о минимуме являются частными случаями общей вариационной задачи, которая в последнее время интенсивно разрабатывается. В случае плоского течения эту общую задачу можно сформулировать как задачу о минимуме функционала

где Уравнение Эйлера указанной вариационной задачи имеет вид

или

Это уравнение будет эллиптическим при выполнении условия Условие эллиптичности естественно возникает при рассмотрении формулы

связывающей значение функционала для произвольной функции со значением функционала для экстремали Это условие означает, что иначе говоря, что экстремаль вариационной задачи дает минимум функционала и что этот минимум является единственным.

Для вариационной задачи, соответствующей функционалу мы имеем следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению

Нетрудно убедиться в том, что функция тока удовлетворяет аналогичному уравнению.