22. Свойства безвихревого движения. Поведение потенциала на бесконечности.

Безвихревое движение характеризуется существованием потенциала скорости такого, что Если рассматриваемая жидкость несжимаема, то следовательно, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

Задача о безвихревом движении несжимаемой жидкости сводится таким образом просто к решению уравнения (22.1) при соответствующих граничных условиях. Мы рассмотрим некоторые основные аспекты этой задачи в этом и следующем пунктах; вопросы, касающиеся движения сжимаемой жидкости, будут изучаться в гл. 5,

Рассмотрим сначала тот важный случай, когда жидкость занимает все пространство вне одного или нескольких движущихся твердых тел конечных размеров. Предположим, что на бесконечности жидкость движется равномерно со скоростью что Тогда потенциал и скорость при имеют следующие асимптотические представления.

Здесь

Существуют различные доказательства этого важного результата; самым простым, вероятно, является приведенное ниже. Начнем с замечания, что достаточно рассмотреть случай общий случай сводится к этому наложением поля скоростей равномерного движения. Если то легко доказать (см. [10], § 3.75), что

где С — соответствующим образом выбранная постоянная, - замкнутая поверхность, содержащая обтекаемые тела, точка вне расстояние между х и точкой интегрирования. (Заметим, что при неодносвязной области течения потенциал скорости может быть многозначной функцией, однако и в этом случае при достаточно большом любую ветвь можно рассматривать как однозначную функцию.) Интеграл в правой части равенства (22.3) имеет, очевидно, следующее асимптотическое представление:

где - поток жидкости через т. е.

При постановке задачи неявно предполагалось, что источники отсутствуют, следовательно, и представление (22.2)

доказано. Аналогичным образом, дифференцируя соотношение (22.3) по х, мы получаем, что при

Этим завершается доказательство справедливости представлений (22.2).

В случае необходимости можно получить полное разложение потенциала и скорости в окрестности бесконечно удаленной точки в виде ряда по сферическим функциям (см. [45], стр. 143).

Другое доказательство формулы (22.2) основано на представлении поля скоростей интегралом Пуассона

где достаточно велико и Законность представления (22.6) легко проверяется на основе известных свойств интеграла Пуассона (см. [45], стр. 243). Воспользовавшись условием мы получаем из формулы (22.6) соотношение

Так Лак из этого соотношения следует, что потенциал также можно представить интегралом Пуассона. Заключительная часть доказательства очевидна.

Асимптотику плоского течения можно получить как из теории аналитических функций, так и независимо от нее, используя представление скорости в виде интеграла Пуассона. Эта асимптотика имеет вид

В отличие от предыдущего случая потенциал даже при больших может представлять собой, вообще говоря, многозначную функцию.

Из второй формулы (22.8) следует, что для любой замкнутой кривой, содержащей обтекаемые тела (при обходе кривой против часовой стрелки). Величина называется циркуляцией; в п. 25 определение циркуляции будет обобщено на случай вихревых течений.