44. Частные решения.

По-видимому, целесообразно рассмотреть здесь некоторые приложения уравнений годографа.

1. Приближенный метод. Для дозвукового течения уравнения (43.2) можно записать в виде

где

а некоторое характерное значение скорости. Заметим теперь, что функция мало меняется при изменении числа Маха в сравнительно больших пределах; чтобы проверить это, можно воспользоваться разложением (37.10) или табл. 1. Действительно, в случае совершенного газа изменение не превышает 8% в широком диапазоне чисел Маха от до 2/3. Поэтому для течений с такими скоростями мы можем упростить уравнения (44.1), положив ошибка при этом будет незначительной. В случае течений с более высокими скоростями мы также можем положить предполагая, что изменение числа Маха в поле течения не слишком велико.

При предположении уравнения (44.1) сводятся к уравнениям Коши — Римана теории аналитических функций, в силу чего функция

является аналитической функцией от При малых значениях числа Маха мы имеем приближенно

Это наводит на мысль обобщить метод, применяющийся при исследовании течений несжимаемой жидкости, на случай течений сжимаемой жидкости. Предположим, что есть комплексный потенциал некоторого безвихревого течения несжимаемой жидкости в плоскости Тогда ясно, что параметрические уравнения

определяют течение сжимаемой жидкости (для этого течения, конечно, выполняется условие При малых числах Маха таким образом определенное течение будет очень мало отличаться от течения несжимаемой жидкости; при больших числах Маха различие между течениями станет значительным, однако можно принять гипотезу, что картина линий тока течения сжимаемой жидкости будет, вообще говоря, подобна картине линий тока исходного течения несжимаемой жидкости. Точное соответствие между точками плоскостей и С определяется формулой

Указанное интегрирование представляет, конечно, серьезные затруднения, и разумнее поэтому исходить из картины течения несжимаемой жидкости, изменяя при этом величину скорости в соответствии со второй формулой (44.3), т. е. в соответствии с формулой

На этой идее, в частности, основана формула Кармана — Цяня для определения величины скорости течения газа по скорости течения несжимаемой жидкости. В качестве уравнения состояния газа выбирается при этом уравнение для которого и несколько упрощается интегрирование в формуле (44.2). Воспользовавшись истинным уравнением состояния рассматриваемого газа, можно было бы получить выражение для поправки скорости более точное, чем формула Кармана.

Насколько известно автору, таблицы, функции для совершенного газа не составлены, однако в таблицах Гаррика и Каплана можно найти значения близкого интеграла

в зависимости от числа Маха При использовании этой величины приближенная формула для определения скорости газа имеет вид

предполагается, конечно, как и ранее, что течение несжимаемой жидкости выбрано чтобы в некоторой заранее выбранной точке величина скорости этого течения была равна .

Другие формулы поправки скорости для дозвуковых течений сжимаемой жидкости были получены. Гарриком, Капланом и Ринглебом (см. [26], стр. 340). При выводе этих формул использовались рассуждения, отличные от приведенных выше, но их применение приводит почти к тем же результатам; по-видимому, это объясняется далеко идущей аналогией между уравнениями (44.1) и уравнениями Коши — Римана.

2. Спиральное течение. Уравнение (43.4) имеет два простых частных решения, а именно

Первое из них представляет собой радиальное течение, а второе — круговое течение (см. Курант и Фридрихе [21], стр. 244—245). Линейная комбинация этих решений, определяет, следовательно, спиральное течение.

3. Решения Ринглеба и Менуэлла. Найдем общий вид решения уравнений (43.2), которое можно представить в следующей форме:

Легко получить, что

где постоянные. Выбирая, в частности, приходим к известному решению Ринглеба. Менуэлл указал другой интересный пример, а именно

где а — постоянная. Формула преобразования к физической плоскости имеет вид

Вычисления значительно упрощаются, если интегрирование по выполнить при а интегрирование по при фиксированном.

Рис. 6. Область течения Менуэлла. а — в плоскости годографа, б - в физической плоскости.

Легко видеть, что в физической плоскости образом области в плоскости годографа является область, внешняя по отношению к полубесконечному телу, показанному на рис. 6. Заметим, что функция тока стремится к нулю при приближении

к границе, которая, следовательно, является линией тока. Более того, эта граница не зависит от величины а. Таким образом, решение Менуэлла дает нам класс обтеканий с различными числами Маха фиксированного полубесконечного тела.

Для дозвуковых течений, т. е. течений, для которых величина а меньше критической скорости, якобиан (43.3) не обращается в нуль и преобразование от к является взаимно однозначным. В противном случае при а, большем критической скорости, физического течения, соответствующего решению Менуэлла, не существует. В этом проще всего убедиться, заметив, что одной и той же точке линии тока соответствуют две различные точки плоскости годографа. В самом деле, из уравнения (44.5) следует, что

Легко видеть отсюда, что при переходе через скорость звука величина меняет знак. Заметим, что при а, меньшем критической скорости, течение Менуэлла (точно так же, как и течение Ринглеба) можно продолжать через границу. При этом мы получаем пример околозвукового течения.

Несостоятельность примера Менуэлла для потоков со сверхзвуковыми скоростями связана, вероятно, с теоремой Никольского и Таганова (см. п. 52), которая утверждает, что не может существовать околозвукового течения с локальной сверхзвуковой зоной, примыкающей к прямолинейному участку границы.

4. Решения Чаплыгина. Найдем общий вид решения уравнений (43.2), имеющего следующую форму:

Подставив первое из этих выражений в уравнение (43.4), мы найдем, что где произвольное действительное число, а функция удовлетворяет следующему уравнению:

Это уравнение служит отправной точкой для многих современных работ, посвященных точным решениям.

5. Решения Крокко. Комплексный потенциал скоростей

определяет, очевидно, некоторое движение несжимаемой жидкости. Крокко указал на модификацию этого выражения, которая позволяет удовлетворить уравнениям годографа для течения сжимаемой жидкости. Здесь удобно будет ввести в рассмотрение переменную и воспользоваться уравнениями годографа в форме (43.6). Мы полагаем

где функции определены следующим образом:

(повторные интегралы вычисляются здесь при одном и том же фиксированном нижнем пределе). Очевидно, что

Теперь нетрудно проверить, что формулы (44.6) дают решение уравнений (43.6). Взяв только действительные или только, мнимые части выражений (44.6), мы получим решения в действительной области. В работе, на которую мы ссылались выше, Крокко показывает, как при помощи точных решений (44.6) можно построить течения в физической плоскости.