57. Ударный слой.

В реальных газах прохождение частицы через ударный фронт представляет собой не мгновенный процесс, в котором состояние частицы меняется скачком из состояния перед фронтом в новое состояние за фронтом, а быстрый переход из одного состояния в другое в некоторой узкой области, или ударном слое. В этой области движение не может быть описано уравнениями движения идеальной жидкости, и, следовательно, возникают некоторые сомнения относительно справедливости предыдущего вывода соотношений Ренкина-Гюгонио. В силу этого вопрос о структуре ударного слоя представляет значительный интерес и ему посвящаются многочисленные исследования. Изучение ударного слоя позволяет глубже понять природу ударных волн, дает некоторую информацию о толщине ударного слоя и приводит к более обоснованному выводу соотношений Ренкина — Гюгонио. Кроме того, сравнивая полученные результаты с экспериментом, мы можем выяснить границы применимости уравнений Навье — Стокса. Из соображений

математического характера задача рассматривалась в основном для простейшего случая одномерного установившегося движения, однако даже в этом простейшем случае проявляются характерные черты движений типа ударного разрыва.

Задача о структуре ударного разрыва в одномерном течении включает в себя следующие два основных вопроса: вопрос о существовании таких решений уравнений движения вязкой жидкости, которые носят характер "быстрого изменения" (профиль скорости, например, должен иметь вид, показанный на рис. 14), и вопрос описания профиля ударной волны, в особенности ее ширины.

Рис. 14. Профиль скорости в ударном слое.

Первый из этих вопросов после довольно безуспешной попытки Рэлея был решен в работах Мизеса и Джидбарга. Второй вопрос — количественная характеристика профиля — связан с весьма сложными расчетами и, таким образом, выходит за рамки этой статьи.

Так как приведенные ниже рассуждения основаны на уравнениях механики сплошной среды, будет не лишним ознакомиться с теми возражениями, которые высказываются по поводу применимости этих уравнений. Первое возражение заключается в том, что толщина ударного слоя имеет порядок нескольких длин свободного пробега молекул и, следовательно, приближения, принятые в

механике сплошных сред, априори неприменимы; второе — в том, что для толщины ударного слоя дается заниженная оценка (следует из первого возражения). Второе возражение полностью снято работой Джилбарга и Паолуччи, которые показали, что в случае, когда величина вязкости зависит от температуры и среда считается теплопроводной — влияние этих факторов в предыдущих исследованиях учитывалось только частично, — уравнения Навье — Стокса дают оценку толщины ударного слоя, которая согласуется с экспериментом столь же хорошо, как и кинетическая теория. Наконец, первое возражение после более тщательного анализа также едва ли можно считать убедительным. Поэтому мы не видим причин для отказа от методов механики сплошных сред при изучении ударного слоя.

Математическая теория ударного слоя в той мере, в которой она охватывается механикой сплошных сред, основана на уравнениях одномерного установившегося движения газа, а именно на следующих уравнениях:

[см. уравнения (5.4), (6.7) и (33.4)]. К этим уравнениям нужно присоединить два соотношения:

которые будут обоснованы в разделе, касающемся движения вязких жидкостей (п. 61 и п. 63). Уравнения (57.1) легко интегрируются; воспользовавшись формулами (57.2), результаты этого интегрирования можно представить следующим образом:

и

где постоянные. В силу соотношения (57.3) функции можно рассматривать как известные функции от

Течение, соответствующее решению системы уравнений (57.4), называется ударным слоем, если при х, стремящемся соответственно точка стремится к конечным предельным точкам причем Легко видеть, что необходимым условием существования решения вида ударного слоя является обращение в нуль величин в правых частях уравнений (57.4) при подстановке в них предельных злачений, т. е. выполнение следующих условий:

Эти условия эквивалентны условиям Ренкина-Гюгонио (54.5); следовательно, ударный слой, соединяющий два состояния может существовать только в том случае, когда являются допустимыми начальным и конечным состояниями соответственно для ударного перехода в некотором течении идеальной жидкости, имеющей те же уравнения состояния, что и данная жидкость. Обратно, если состояния удовлетворяют условиям Ренкина — Гюгонио, то ударный слой, соединяющий состояния определяется решением уравнений (57.4), причем постоянные находятся из соотношений (57.5).

Нетрудно показать, следуя описанной выше схеме решения задачи, что скорость распространения бесконечно слабого ударного слоя относительно движущейся жидкости совпадает со скоростью звука с. Этот факт еще раз подтверждает корректность принятого определения скорости звука с.

Начиная с этого места, мы ограничимся рассмотрением случая совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями. Уравнения (57.4) принимают тогда вид

[Эти уравнения допускают точное решение при

Действительно, умножив первое уравнение (57.6) на и и сложив его со вторым уравнением, мы найдем, что

следовательно, существует частное решение

Исключив теперь из первого уравнения (57.6) величину получим

Последнее уравнение интегрируется в замкнутом виде в том случае, когда величина постоянна, и допускает численное интегрирование в том случае, когда

Покажем сейчас, следуя работе Джилбарга что для заданных допустимых конечных состояний существует единственное решение уравнений (57.6) вида ударного слоя.

С этой целью рассмотрим в плоскости поле направлений, соответствующее системе дифференциальных уравнений (57.6).

Рис. 15. Поле интегральных кривых и ударная кривая в плоскости

Конфигурация этого поля показана на рис. 15, начерченные жирными линиями параболы определяются уравнениями

Легко видеть, что эти параболы пересекаются в точках Задачу заключается в отыскании интегральной кривой ("ударной линии"), соединяющей особые точки системы (57.6). Для выяснения характера поля направлений вблизи этих точек нужно исследовать корни характеристического уравнения

Нетрудно проверить, что квадратное уравнение (57.8) имеет в точках действительные корни, причем в точке

оба корня имеют один и тот же знак, а в точке различные знаки. Таким образом, первая из этих точек представляет собой узел, а вторая — седло. Из картины поля направлений, показанной на рис. 15, следует, что кривая, входящая в точку слева, не может пересечь при ее продолжении вправо ни одной из кривых Это означает, что указанная кривая попадет при своем продолжении в точку Существование ударного слоя, отвечающего конечным состояниям тем самым доказано. Единственность такого решения доказывается аналогичными рассуждениями.

(Заметим, что описанный выше метод дает возможность численного расчета ударного профиля; см. работу Джилбарга и Паолуччи.)

Остается проверить только, что при малых значениях и профиль ударного слоя имеет сколь угодно узкую область перехода и ту же качественную структуру, что и профиль, показанный на рис. 14. Не останавливаясь на формальном доказательстве этого факта, мы приведем те соображения, которые показывают существо дела. Начнем с того, что монотонное убывание величины и очевидно, так как во всех точках ударной кривой. Предположим теперь, что мы хотим, чтобы, скажем, 90% изменения величины и происходило на интервале протяженностью меньше Иначе говоря, мы хотим, чтобы "ударная кривая" проходила большую часть расстояния между при малом (меньше ) изменении х. Из вида системы (57.6) ясно, что этого можно добиться, сделав достаточно малыми независимо от того, являются ли они постоянными.

Дальнейшее исследование уравнений (57.6) упрощается при замене Геометрическая интерпретация полученного уравнения позволяет вывести простые и весьма полезные неравенства для оценки толщины ударного слоя (см. работу Мизеса). Широкий круг вопросов, связанный с ударным слоем, изучен с физической точки зрения в опубликованной недавно работе Лайтхилла.