50. Трехмерное установившееся безвихревое течение.

В соответствии с теоремой 2 из п. 39 мы, не ограничивая общности, можем считать такое течение энтропическим и изоанергетическим. Напомним, что для таких течений теорема Бернулли справедлива в ее сильной форме (37.2).

Потенциал скоростей безвихревого пространственного течения удовлетворяет уравнению

(см. п. 45). В случае сверхзвукового течения уравнение (50.1) представляет собой квазилинейное гиперболическое уравнение второго порядка с частными производными. Теория таких уравнений хорошо известна (см., например, [46], гл. 6), и мы отметим здесь лишь некоторые наиболее интересные свойства решений этих уравнений.

Поверхность является характеристическим многообразием для уравнения (50.1) в том и только в том случае, когда в каждой точке

здесь через обозначен единичный вектор нормали к матрица коэффициентов уравнения (50.1). Заметим, что условие (50.2) можно записать в более простой форме, а именно

Таким образом, нормальная компонента вектора скорости должна равняться на местной скорости звука. Пусть произвольная точка области (сверхзвукового) течения. Мы определим конус Маха в точке как прямой круговой конус с вершиной осью, направленной по вектору скорости и углом раствора, равным углу Маха Легко видеть, что условие (50.3) эквивалентно требованию, чтобы в каждой точке поверхности эта поверхность касалась конуса Маха с вершиной в точке

Рассмотрим линейный элемент или, что то же, направление на поверхности в точке по которому конус Маха касается Мы назовем это направление характеристическим направлением на поверхности в точке Совокупность характеристических направлений на характеристическом многообразии определяет поле направлений; соответствующие этому полю кривые носят название характеристических линий. В соответствии с теорией характеристических поверхностей характеристические линии можно получить, решая систему уравнений

при следующих начальных условиях: точка лежит на а вектор в этой точке направлен по нормали к Ясно поэтому, что характеристическая линия вполне определяется своим начальным поверхностным элементом и, следовательно, два характеристических многообразия, касающихся в некоторой точке имеют целую линию

соприкосновения, кото рая представляет собой характеристическую линию, проходящую через Это показывает, что характеристические линии играют в распространении бесконечно малых возмущений ту же рэль, что и характеристические кривые в плоском установившемся течении.

Полоска удовлетворяющая уравнениям (50.4) и (50.2), называется бихарактеристикой. Из изложенного выше следует, что любое характеристическое многообразие можно получить, "склёивая" некоторое однопараметричгское семейство бихарактеристик. Этот факт, вероятно, станет более ясным, если ввести в рассмотрение характеристический коноид, образованный семейством бихарактеристик, проходящих через данную точку. Тогда действие возмущения, возникшего в произвольном множестве точек, ограничено огибающей характеристических коноидов, вершины которых лежат в этом множестве точек. Заметим, что этот процесс построения огибающей характеристических коноидов представляет собой не что иное, как построение волнового фронта по методу Гюйгенса.

Метод характеристик, в некотором смысле аналогичный методу характеристик для плоского течения, был разработан для исследования определенного класса трехмерных сверхзвуковых течений Коберном и Долфом. В появившихся недавно работах Холта!) и Коберна рассматривалась задача о характеристических многообразиях установившегося вихревого сверхзвукового течения. В этих работах, так же как в п. 49, уравнения движения были записаны в естественной системе координат, связанной с характеристическими направлениями. Коберну удалось, используя полученные уравнения, найти несколько новых точных решений задачи о пространственных течениях.