19. Функция тока.

В каждом случае, когда уравнение неразрывности допускает представление в виде суммы двух производных, это уравнение может быть проинтегрировано введением функции тока. В этом пункте мы рассмотрим только плоское течение и осесимметричное течение, хотя эти течения не исчерпывают все случаи, в которых возможно построение функции тока. Мы будем предполагать также, что жидкость несжимаема; более сложный случай сжимаемой жидкости будет рассмотрен ниже (см. п. 42).

Плоское течение. В этом случае и поэтому уравнение неразрывности имеет вид

В силу этого уравнения криволинейный интеграл взятый от фиксированной точки до переменной точки определяет (быть может, многозначную) функцию

Легко видеть, что по известной функции поле скоростей восстанавливается однозначно. Ясно также, что линии являются линиями тока; последнее обстоятельство послужило причиной названия функции функцией тока.

Представляет интерес уравнение, которому удовлетворяет функция а именно уравнение

которое является следствием уравнений (17.8) и (19.1) и используется для определения по известной величине завихренности. Заметим теперь, что для плоского

устанавившегося течения в силу уравнения (18.1)

Следовательно, любое решение уравнения может служить примером установившегося плоского течения; конечно, в конкретной задаче нужно также принимать во внимание граничные условия, которым должна удовлетворять функция В случае безвихревого течения существует потенциал и

Комплексная функция является, следовательно, аналитической; этот факт часто позволяет найти точное решение задачи о плоском безвихревом движении несжимаемой жидкости. Читатель может обратиться по этому вопросу к книгам Ламба [8] и Мили-Томсона [10], а также к статьям Беркера, Вехаузена и Джилбарга в данной Энциклопедии.

Осесимметричное течение. Так как рассуждения в этом случае вполне аналогичны изложенным выше, мы ограничимся формулировкой результатов. Для осесимметричного течения уравнение неразрывности имеет вид

[см. формулу (12.11)]; следовательно, мы можем определить функцию тока так, чтобы

Уравнение для нахождения 6 по известной величине завихренности получается в результате исключения из уравнений (17.9) и (19.3) и имеет вид

В установившемся течении и со связаны соотношениями

и поэтому любое решение уравнения можно рассматривать как пример установившегося осесимметричного течения.

Интересный пример дает сферический вихрь Хилла где Для этого течения стр. 309).