23. Свойства безвихревого движения (продолжение).

В этом пункте мы рассмотрим наиболее важные результаты, относящиеся к изучаемому вопросу.

1. Максимум скорости достигается на границе области течения. Простое доказательство этого факта, предложенное Кирхгофом, можно найти в книге Ламба [8], § 37; ниже (см. п. 28) мы получим этот результат как следствие более общего утверждения.

2. Кинетическая энергия. Для течения в ограниченной односвязной области легко показать, пользуясь формулой Грина, что

где через обозначена граница Формула (23.1) для кинетической энергии справедлива и для области внешней по отношению к 8, если только жидкость на бесконечности покоится. В самом деле, если обозначить через сферу достаточно большого радиуса, содержащую внутри себя то кинетическая энергия жидкости, заключенной в данный момент между и выразится формулой

Подинтегральная функция второго слагаемого имеет порядок не ниже (при отсутствии источников порядок равен при этом предполагается, что потенциал выбран так что в формуле Следовательно, интеграл по стремится к нулю при удалении в бесконечность, и в пределе мы получаем формулу (23.1).

3. Единственность. Вернемся к задаче, рассматриваемой в предыдущем пункте. Мы утверждаем, что течение жидкости в односвязной области полностью определяется заданием движения обтекаемых тел и величины В самом деле, пусть потенциалы двух течений, удовлетворяющих указанным выше требованиям; тогда является потенциалом течения, с нулевой скоростью на бесконечности и на поверхности движущихся тел. Предполагая, что область течения односвязна, мы получаем из формулы (23.1),

что Так как это означает, что то два рассматриваемые течения совпадают.

Если область течения неодносвязна, то указанные выше условия, как показывают простые примеры, не обеспечивают единственности течения. Исследование возникающих при этом вопросов можно найти в § 47—55 монографии Ламба [8].

Заметим в заключение, что теорема единственности, установленная выше, показывает, что на границе области течения нельзя задавать, вообще говоря, кроме еще какие-нибудь дополнительные условия. В частности, условие прилипания на поверхности твердого тела при безвихревом движении жидкости, как правило, не выполняется

4. Парадокс Даламбера. Рассмотрим силу, которая действует на движущееся в жидкости твердое тело; предполагается, что скорость твердого тела постоянна и жидкость на бесконечности покоится. Ясно, что эту задачу можно сформулировать и как задачу о силе, действующей на неподвижное тело в равномерном потоке. Если обозначить через скорость набегающего потока, то в соответствии с формулой (22.2)

здесь, как и всюду дальше, символ О относится к асимптотике при Предположим, для простоты, что Тогда из теоремы Бернулли (18.4) следует, что

Применяя теперь формулу (10.2) для сферы достаточно большого радиуса и пользуясь соотношением мы получаем

Так как в силу теоремы Гаусса — Остроградского интеграл, входящий в это соотношение, равен нулю, очевидно, что

Этот на первый взгляд неожиданный результат известен под названием парадокса Даламбера Несоответствие с опытными данными вызвано, конечно, тем, что рассматривается слишком упрощенная модель обтекания тела [8, § 370, 371].

В случае плоского течения из-за наличия циркуляции возникают некоторые дополнительные трудности. Предположим, что система координат выбрана так, что направление скорости набегающего потока совпадает с положительным направлением оси х, т. е. что Тогда, полагая и пользуясь формулой (22.8) и уравнением Бернулли, легко показать, что

Из этого соотношения вытекает следующая формула для проекции силы на направление скорости потока:

где Сумма первых двух членов подинтегральной функции имеет в силу формулы (22.8) порядок Интеграл от третьего члена в естественном предположении отсутствия источников равен нулю. Таким образом, даже при наличии циркуляции сопротивление равно нулю. Аналогичные вычисления приводят, однако, к ненулевой величине подъемной силы

Интересно, что подъемная сила зависит только от величины циркуляции, а форма и размеры тела не играют никакой

роли. Полученная независимо друг от друга Жуковским и Кутта формула (23.2) лежит в основе теории подъемной силы крыла.

Мы рекомендуем читателю ознакомиться с интересными формулами Кирхгофа для силы и момента, действующих на тело, движущееся в жидкости произвольным образом (см., например [8], гл. 6). Из-за недостатка места эти вопросы здесь не рассматриваются.