72. Теоремы единственности для течений вязкой жидкости.

Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, заполняющую ограниченный объем граница которого состоит из конечного числа замкнутых твердых поверхностей, движущихся заданным образом (твердые тела, движущиеся в ограниченном сосуде). В силу условия прилипания (см. п. 64) поле скоростей жидкости на границе совпадает с полем скоростей границы в ее собственном движении. Естественно поставить вопрос: будет ли движение жидкости в этих предположениях полностью определяться распределением скорости в некоторый начальный момент Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема: если два течения в ограниченной области

имеют одно и то же распределение скорости при и на границе , то они тождественны.

Доказательство этой теоремы основано на простом тождестве для кинетической энергии, соответствующей разности скоростей двух движений. Пусть два поля скоростей, удовлетворяющих условиям теоремы. Введем в рассмотрение величины

Тогда мы имеем

где - тензор деформаций, соответствующий полю Действительно, так как являются решениями уравнения Навье — Стокса то

Умножив это уравнение скалярно на и воспользовавшись условием несжимаемости мы получим

венство

интегрирование которого по объему 23 при условии на приводит к формуле (72.1).

Обозначим теперь через нижнюю грань характеристических чисел матрицы в промежутке времени заметим, что так как Из определения и свойств характеристических чисел следует, что в каждой точке и для всех выполняется неравенство

Тогда в силу формулы (72.1)

Переписав это неравенство в виде

и проинтегрировав от до мы получим, что

Так как момент был выбран произвольно, это означает, что величина тождественно равна нулю. Следовательно, и поля скоростей совпадают. При соответствующих предположениях относительно асимптотического поведения течения при установленный выше результат может быть перенесен на случай обтекания бесконечным потоком жидкости конечного числа ограниченных тел. В частности, если для справедливы асимптотические представления

где то интеграл в формуле для сходится и приведенное выше доказательство остается справедливым. (Эти условия являются довольно жесткими и, по-видимому, не выполняются в зоне возмущенного движения за препятствием;

можно предложить условия другого рода, которые допускают, однако, только специальный характер движения в возмущенной зоне.)

Мы не имеем возможности остановиться здесь на вопросе о существовании решений уравнений Навье — Стокса, удовлетворяющих заданным начальным и граничным условиям. Эта исключительно трудная задача решена еще не полностью, хотя ей посвящены многочисленные исследования. Не ставя перед собой трудно выполнимой задачи дать полную библиографию, мы ограничимся перечнем монографий, которые содержат основные результаты, полученные к настоящему времени:

(см. скан)

Киселев А. А., Ладыженская О. А., О существовании и единственности решений задачи Коши для вязких несжимаемых жидкостей, Изв. АН СССР, 21, 635—680 (1957).

Основная трудность задачи заключается в том, что даже гладкие начальные данные приводят в некоторых случаях к решениям, непрерывно дифференцируемым только на ограниченном отрезке времени. Это вызывает необходимость введения различного рода "слабых" решений уравнений Навье — Стокса (см. работы, указанные выше), исследование которых требует привлечения тонких математических методов.